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R. König 
Das zweite Anzahltheorem gibt eine Anzahlbeziehung 
zwischen den Funktionen von ( K ) und den Funktionen von (K). 
Das dritte Anzahltheorem eine solche zwischen den 
Differentialen von ( K ) und den Differentialen von ( K ) und 
kann als Verallgemeinerung des Reziprozitätssatzes von Brill 
und Nöther (Math. Ann., Bd. 7 (1874) aufgefaßt werden. 
III. Das Invariantentheorem 1 ) 
lehrt eine von >Q unabhängige, ausschließlich durch das Klassen- 
paar ( K ), ( K ) bedingte Anzahlbeziehung kennen. 
IV. Die Lückentheoreme 1 ). 
Es ist eine bekannte wichtige Entdeckung von Weier- 
straß, daß unter den an einer Stelle unendlich werdenden 
algebraischen Funktionen genau p Ordnungszahlen fehlen und 
dafür p Integrale 1. Gattung existieren, welche von diesen Ord- 
nungen daselbst verschwinden. Im Gebiet der Riemannschen 
Transzendenten besteht ein viel allgemeineres Theorem einmal 
für die Funktionen und dann ein analoges auch für die Dif- 
ferentiale, für welches im algebraischen Gebiet noch kein Platz ist. 
Es zeigt sich, daß die Quelle für diese Lückentheoreme 
tiefer und zugleich einfacher liegt als der Ausgangspunkt bei 
Weierstraß 2 ); sie fließt aus dem 1. Anzahltheorem. 
V. Die Residuensätze 
lehren, daß für die Koeffizienten der Unendlichkeitsstellen einer 
Funktion bzw. eines Differentials von ( K ) o bzw. f lineare 
homogene Relationen bestehen müssen. Für die Abelschen 
Differentiale gibt das letztere den Satz, daß die Residuen- 
summe gleich Null ist. 
VI. Die Vorbereitungssätze für die algebraische 
Charakterisierung der Funktionen und Differentiale. 
Es läßt sich (auf unendlich viele Arten) ein Divisor 91 
bzw. der Ordnung r bzw. 6 angeben derart, daß keine 
J ) S. „VI“- 
2 ) S. a. a. 0. 9. Kap. 
