Weierstraß - Abelsche Transzendenten etc. 
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überall endliche Funktion von ( K ) bzw. kein überall endliches 
Differential von ( K ) existiert, welches Multiplum von 9t bzw. 
von 99t ist 1 ). Daraus entspringt das 
Charaliterisierungsschema : 
Klasse [K) (Klasse K ) 
Funktionen : 
Wl:o 
9t : t 
9K :o 
9t: r 
^ 
o o • 
•o 
^ ^ ^ 
OO- 
•o 
Differentiale: 
9t : t 
Wl:o 
9t : r 
9Jt:o 
^ »c • • • * 
o o • 
• o 
OO- 
•o 
Die schrägen Kreuze besagen: es gibt (außer den ev. vor- 
handenen überall endlichen) keine Funktionen bzw. Differen- 
tiale, welche nur daselbst höchstens von der 1. Ordnung un- 
endlich werden. Die Kreise besagen: es gibt keine überall 
endlichen Funktionen bzw. Differentiale, welche daselbst gleich- 
zeitig mindestens von der 1. Ordnung verschwinden. 
VII. Die Elementar-Funktionen und -Differentiale einer 
Variabein von ( K ) und (K). 
Ihre Existenz, tatsächliche Aufstellung und algebraische 
Charakterisierung kann jetzt mit Hilfe des 1. Anzahltheorems, 
der Basissätze und VI erfolgen 2 ). Es gehört z. B. (im all- 
gemeinen) zu einer jeden Stelle von den El, wo d eine 
Zahl der Reihe 1, 2, . . . n ist, eine unbegrenzte Reihe von 
Elementarfunktionen A ter Ordnung von (K) 
©l*’ (s, ba), h = 1, 2, ... in inf, 
wobei abgesehen von bä (@; A) , ©f*) Multiplum von 'Dt -1 • 9t ist, 
während es sich bei bä verhält wie: 
*f =d + t : ei*’ ( 2 ?, bj)= ‘ +')!(<); 
9Ji,5K t 
') S. „VI“. 
2 ) S. „VIII“ , 
