Weierstraß' Abelsche Transzendenten etc. 
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satz von Weierstraß *) und M. Noether 2 ). Allgemein stellt III 2 
das funktionentheoretische Gegenstück zu den berühmten (for- 
malen) Vertauschungsidentitäten von Abel, Jacobi u. a. bei den 
linearen Differentialgleichungen dar 3 ). 
IV. Die Reduktionstheoreme 4 ). 
In den drei Arten von Vertauschungstheorem denke ich 
mir die vorkommenden Funktionen und Differentiale in der Um- 
gebung jeder Stelle von den El entwickelt und zwar einmal nach 
dem Argument z (bezw. t), das andere mal nach dem Para- 
meter x (bzw. t). Ich suche den Koeffizienten der Potenz t r 
bzw. t s , was mit Hilfe der Entwicklungstheoreme gelingt; dieser 
gleich Null gesetzt, liefert sechs Arten von Beduktionstheoremen, 
Red. U+i ( t r ), Red. R+i (t s ) — Red. IH^+i (t s ), wodurch alle 
Zusammenhänge zwischen den Elementar -Funktionen und -Dif- 
ferentialen von einer Variabein gegeben werden. Von der größten 
Wichtigkeit für die Einsicht in den Aufbau der Klasse sind 
Red. II 2 ( V ) und Red. III 2 (£ r ). Das letztere besagt insbesondere, 
daß alle Elementardifferentiale beliebiger Ordnung von ( E ) aus- 
gedrückt werden können 1. durch Elementardifferentiale 1. Ord- 
nung, 2. eine endliche Anzahl ganz bestimmter unter ihnen 
und 3. die Ableitung einer Funktion. 2. besteht in dem Spezial- 
fall, daß keine rein imaginären Exponenten a Vorkommen aus 
den o überall endlichen Differentialen und den s zu i ge- 
hörigen Elementardifferentialen 2. Ordnung. Dieser Spezial- 
fall liegt insbesondere vor, wenn (E) = (E) eine algebraische 
Klasse ist und dann geht Red. III 2 (tf r ) über in den Reduktions- 
satz von Weierstraß 5 ). 
V. Die Reziprozitätstheoreme 6 ). 
Indem ich in den 3 Arten von Vertauschungstheoremen 
jetzt den Koeffizienten von t r t s aufsuche und gleich Null setze, 
l ) A. a. 0., 11. Kap., S. 254. l ) Math. Ann. 37 (1890), S. 469. 
3 ) S. L. Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differential- 
gleichungen, 2. Bd., I. Teil, Leipzig 1897, S. 411. 
4 ) S. ,XII“. 5 ) A. a. 0.. 12. Kap., S. 263. «) S. „X“ und „XII“. 
