Zur Theorie der unendlichen Kettenbrüche. 
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3. Das vorstehende Kriterium nimmt besonders einfache 
Formen an (von denen die erste das zu Anfang erwähnte Kri- 
terium (A), die zweite eine von mir auch schon angegebene 
Umformung des letzteren 1 ), die dritte neu ist), wenn für q v je 
eine der folgenden drei Annahmen gemacht wird : 
Qv 1 j Qv — , Qv — V Q>v-\-i 0* 1, 2, 3, • . .), 
wobei im zweiten und dritten Falle infolge der Voraussetzung 
Qv > 0 (v > 1) durchweg a r > 0 für v > 2 anzunehmen ist. 
Mit dieser Zusatzbedingung ergibt sich sodann: 
Der Kettenbruch 
ist unbedingt konvergent, wenn 
eins der folgenden drei Bedingungspaare erfüllt ist: 
(D) V > 1 , b v | | a v + 1 
(E) b 1 > a 2 , ! b v \ | a y +i | -f- 1 
(F) I i, >VkI, \b, >VW\ + V\^^\ 
für v>2, 
und zwar genügt sein Wert, falls | >0, je einer 
der folgenden drei Ungleichungen: 
&il = Pi, 
K | ^ Qy + Oy \ 
!«v ! =e„_i ° v f 
für v 2 , 
so ist der Kettenbruch jjj-J (abgesehen von dein im Texte er- 
wähnten Divergenzfall) unbedingt konvergent. 
Die Richtigkeit dieses Kriteriums läßt sich überdies auch ganz un- 
mittelbar durch das Hauptkriterium von Nr. 1 verifizieren. Man findet 
nämlich auf Grund der oben getroffenen Festsetzungen für vS^2: 
a v j < Py-l °v 
b v-i b v J — (e„_, + o v _{) (g y + a v ) 
_ Py-l 
e v _i +° v -i 
wo jetzt für v 1? 1 : 0 = d v 
sertation, S. 13. 
») s. [4], S. 366. 
(l = 
\ Q v + «,/ 
= t ~ — 1. Ygl. auch v. Pidoll, 
Qv+°v 
Dis- 
