76 
Zur Theorie der unendlichen Kettenbrüche. 
Sind die für die Konvergenz des Kettenbruches 
notwendigen Bedingungen nämlich: 
r 
CO 
1 " 
by_ 
I 
1 
1 + 
1 ö 
( 1 ) 
& 2 v+i >0 für mindestens ein v, 
| | f>y | = + °0 
erfüllt, so konvergiert der Kettenbruch, wenn die 
von Null verschiedenen a y gleichbezeichnet sind 
und für die ß v eine Beziehung von der Form besteht: 
(2) \ ß v \ ^ y \ a y \, wo y eine beliebige positive Zahl. 
Angenommen nun, es trete jetzt an die Stelle der letzten 
Ungleichung die Bedingung, daß die Zahlen ( — l) v • ßy (soweit 
sie von Null verschieden) gleichbezeichnet sein sollen. 
Dabei kann man, ohne die Allgemeinheit des Resultates zu 
beschränken, auf Grund einer bei Gelegenheit des oben er- 
wähnten Beweises gemachten Bemerkung (a. a. 0. S. 247) an- 
nehmen, daß diese ( — l) v • ß y dasselbe Vorzeichen haben, wie 
die a y . Man findet nun durch Äquivalenz-Transformation: 
1 
* 1 
1 
a y fi- ßyi. 
1 — C 0 
a‘ y -\-ß v i 
wenn gesetzt wird: 
Cy — 1 Cy 1 , (ly — J- ßy i Cy(o.y -J- ßvi) (v 1 , 2, 3, . . .). 
Der ersten dieser Bedingung wird aber genügt, wenn 
man setzt: = ]/r (1 + (_ l)—'*), 
worauf sich ergibt: 
= VT («„ + (- 1 Yßr), ßl = V\ {ßr + (- 1 Y + 1 ay) 
und, wegen der gleichen Vorzeichen von a y und ( — 1 ) v ß v : 
K = Vi (| «v | + |/8, |), ßl = V? \ \a y — ß v \\, 
also : ßl a‘ y \ 
d. h. die Teilnenner des transformierten Bruches genügen der 
Bedingung (2). Da überdies: 
