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A. Pringsheim 
«j d j o] = _ Zz‘ _ Zz‘ zz‘ 
I 1 ' |1 — z — z* \z + z' z-\-z‘ 
und, wenn noch gesetzt wird: 
z* 
(3) — = 2, also: \q j < 1, 
z 
so ergibt sich mit Hilfe einer einfachen Äquivalenz-Transfor- 
mation : 
(4) 
CI d ' CI 
ü + i + '" + ji + 
-J-il «L 
\|1+« 1+3 
Nun ist aber nach einer bekannten Euler sehen Formel, 
betreffend die Umformung einer Summe in einen äquivalenten 
Kettenbruch : 
w 
1 + 5>01«2 • • • 2 V 
1 
U _ 2i 1 
1 1 + 2i 
2 2 [ 
1 + 2 2 
und daher durch Übergang zum reciproken Werte: 
_ 2 »J_ 
1 + 2» 
2il 2?! 2»1 = 1 
1 2 i 1 + 2-2 1 + 2 » 1 + S n 
wenn: 
also schließlich: 
n 
5» = E* 2, 2a • • • 2+ + — 1 
1 
1 
/c \ 2i i 2a < _ 2» 
1 + 2i l + 2 2 1 + 2» 1 + 
Daraus folgt aber, daß der vorliegende Kettenbruch für 
n -*■ oo in einen konvergenten übergeht, wenn s n für n -*• oo 
gegen einen von — 1 verschiedenen Wert s konvergiert 
und daß in diesem Falle: 
( 6 ) 
2, 
1 + 2 . ’ 
2v+i 
1 + 2>’+i 
Y^r s (wo: S=^v2 1 2 2 ...2.+ -1), 
während im Falle: lim s„ = — 1 außer wesentliche Diver 
n -+• oo 
genz des Kettenbruches eintritt 1 ). 
Der Kettenbruch ist auch konvergent, wenn die Reihe „nachUn- 
endlich“ (im komplexen Sinne) di vergiert, d. h. wenn : lim | s n | = -j- oo, 
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