Zur Theorie der unendlichen Kettenbrüche. 
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Die Anwendung dieses Ergebnisses auf Gl. (4), wobei jetzt, 
co^ n 
wegen q <1, s = 2’ = , wird, liefert sofort die ge- 
i 1 — q 
wünschte Beziehung : 
p+p+ 
+fi+ 
= — zq, d. h. = — z‘ x ). 
2. Ein beliebiger Kettenbruch von der Form 
wo 
d v =]= 0, läßt sich zunächst rein formal stets auf die Formel (5) 
bringen (abgesehen von dem ersten Teilzähler d. h. schließlich 
einem dem Kettenbruche hinzuzufügenden Faktor). Setzt man 
nämlich für v > 1 : 
(7) Zy -j~ Zy = 1 , Zy Zy J = dy -f. ] , — = Qy, 
so findet man zunächst : 
dy 
z\ 
ZyK+l 
_1 
1 z '\ 
ßx + »l ’ 
Zy + l 4 * ti+l. 
und hieraus durch Äquivalenz-Transformation: 
dy 
2, 
2.-4- 1 
_ 1 J 
1 z \ 
U + 2,’ 
1 + q v + \_ 
Damit diese Beziehung einen Sinn hat, ist nur erforder- 
lich, daß für v = 1, 2, . . . n die z y durch die Bedingungen (7) 
als bestimmte, insbesondere auch von Null verschiedene 
Zahlen definiert sind (was dann ohne weiteres auch für die 
z'y und q v gilt). Und man findet dann schließlich auf Grund 
der Beziehungen (5) und (6): 
insbesondere also, wenn die Reihe „eigentlich“ divergiert. Man findet 
in diesem Falle aus Gl. (5): 
gi g * + i _ 1 
14* gl’ !+?v4-1 
1 00 
J ) Ist = 1 , d. h. z = z‘ = a = — i, so wird : 2 j v q v = 4* cc 
und der Kettenbruch konvergiert also gegen den Wert — 1. Der Um- 
stand, daß hier die Konvergenz des Kettenbruches vermöge der Diver- 
genz von ( 1 zustande kommt, stempelt diesen Fall zum Sonderfall. 
