Zur Theorie der unendlichen Kettenbrüche. 
81 
(B) 'l-^|g(l-o)(l-#)» (v= 1,2,3,...), 
wo o die (allemal vorhandene) * 1 ) zwischen 0 und 1 
gelegene Wurzel der quadratischen Gleichung: 
1 — 
(U) i+^ o ’ + o-l = 0 
bedeutet. 
Beweis. Um die beiden Bedingungsformen (A.) und (B) 
so weit als möglich gleichzeitig zu behandeln, wollen wir zu- 
nächst von der (beide Formen umfassenden) Voraussetzung 
ausgehen : 
(A, B) 
i_ 
a 
^e(i-tf) 2 , 
wo : 0 < q < 1 . 
Wird sodann nach der Vorschrift von Gl. (7) gesetzt: 
Sy -\- Zy = 1> SySy^-l = ü y \ , — = Qy (V = 1, 2, 3, . . .), 
Zy 
so folgt zunächst, wenn man in der ersten dieser Gleichungen 
v durch v -j- 1 ersetzt und sodann den Wert z \.+ 1 = 1 — s v +\ 
in die zweite einführt: 
s,.(l —s r+ ,) = —a v+ 1 , 
und man gewinnt daher die Rekursionsformel: 
( 12 ) 
*r + l 
— (s v -f a r+ i), 
Sy 
x ) Setzt man zur Abkürzung : 
1 — tf 2 
so geht die quadratische Gleichung (11) nach Multiplikation mit r in 
die folgende über: a 2 ra r — o, 
besitzt also die beiden Wurzeln : 
i ( — t ± | Vr 2 4-4r|), 
deren eine wegen: 
r < | Vr 2 + 4 r | < r + 2 
wesentlich positiv und zugleich < 1 ist. 
Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl. Jahrg. 1918. 
6 
