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A. Pringsheim 
Ferner ist: 
I 2* I = 1 2 — (? — 2v) | < | 2 + | 2 — q, \ 
und daher schließlich : 
( 18 ) | q v | < tf 2 + (1 + tf 2 ) (1 — #) = 1 — 0 (1 — 0 )* < 1 . 
Daraus ergibt sich aber, daß die Reihe XJ 2i 2ä • • • 2v 
konvergent ist und zwar auch im Falle q = 1, d. h. wenn 
lediglich die Voraussetzung (A) besteht. 
Wird dann wieder gesetzt: 
f>2,2* • • • 2v = s, 
1 
ci 1 00 
so ist also nach dem in Nr. 2 gesagten der Kettenbruch 
L l Ji 
konvergent, ausgenommen den einzigen Fall s = — 1, in 
welchem er außerwesentlich divergiert (bzw. die Form $ 
annimmt, falls a, = 0 ist). 
Es bleibt noch zu zeigen, daß das Eintreten dieses Diver- 
genzfalles — übrigens auch für jeden der Kettenbrüche: 
u 1 00 
-- für 1 — ausgeschlossen erscheint, falls die engere 
. 1 Jn+ 1 
Bedingung (B) erfüllt ist, daß also unter dieser Voraussetzung 
stets jl-j-sj von Null verschieden ausfällt. 
Man hat nun: 
und daher: 
(19) l+s|>0. wenn: , s — | < 
Um das letztere nachzuweisen, hat man zunächst: 
(20) 5 -^- 1 = £> (2, g a ... 2« - r ) £ £" ! 2, 2, • • • «» - 2 * 1 
i — 2 i i 
und sodann : 
2 i 2 2 • • • 2 * — 2 " = (2 — (2 — 2 i )) • • • (2 — (2 — 2 «)) — 2 % 
