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A. Fringsheim 
Nun ist durch den Nachweis der Äquivalenz jener beiden 
Grenzwertformen nicht nur der ziemlich umständliche Hold er- 
sehe Beweis 1 ) der Relation (1 a) völlig entbehrlich geworden, 
da deren Gültigkeit nunmehr ohne weiteres aus der verhältnis- 
mäßig leicht zu beweisenden Relation (1 b) 2 ) folgt, sondern es 
haben die vermöge ihres einfacheren Bildungsgesetzes die 
nahezu vollständig verdrängt. Bei dieser Sachlage 
scheint es vielleicht nicht ganz überflüssig, darauf hinzuweisen, 
daß vermöge des zwar den nicht aber den S'^ zukom- 
menden rein iterativen (und zugleich distributiven) Charak- 
ters, nachdem nun einmal die Äquivalenz der beiden Grenzwert- 
formen erwiesen ist, gewisse Zusammenhänge sich ganz un- 
mittelbar übersehen lassen, deren Feststellung bei ausschließ- 
licher Verwendung der S eine verhältnismäßig umständliche 
Rechnung oder die Verwendung sonstiger besonderer Hilfsmittel 
erfordert. Zur näheren Begründung dieser Bemerkung diene 
folgendes. Aus der Identität: 
n n 
(» + 1) Sn = X” (n + 1 — 1’) a r + X” va v 
0 0 
n n 
= X” s v -f- X” v 
0 0 
folgt durch Division mit (w -}- 1): 
(2 0 ) s„ = (s„) + (» a„) 
und hieraus durch «-malige Mittelwertbildung: 
(2) 2tt*(s„) = 2ft„+i(Sn) + 3Ä*+i ( na „ ) 
für x = 1, 2, 3, . . ., übrigens für « = 0 mit Gl. (2 0 ) zusammen- 
fallend, wenn man, wie bisher, -ift 0 (s n ) die Bedeutung von s„ bei- 
legt. Besteht nun für irgend ein « 0 eine Beziehung von der 
0 Math. Ann. 20 (1882), S. 535. 
2 ) Wenn man noch die bekannte Transformation zu Hilfe nimmt: 
X” «^ v = (i-^r +1 -X”4 x) ^ v . 
0 0 
im wesentlichen zuerst bewiesen von Appell: Paris C. R. 87 (1878), 
p. 690. Vgl. auch dieser Berichte Bd. 31 (1901), p. 522. 
