Nachtrag. 
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Form lim ?.Ji* + i(s n ) = s, so ergibt sich aus Gl. (2) unmittelbar 
n — ► co 
der folgende Satz: 
(A) Weißman,daf32Ja„zummindestenvonderOrd- 
nung x -f- 1 reduzibel ist, so bildet die Beziehung: 
(3) lim (wa„) = 0 
n — ► co 
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß 
X a v schon von der Ordnung x reduzibel ist. Dies 
gilt auch für x = 0, sofern man unter JReduzibilität 
von der Ordnung 0 die Konvergenz von X a y versteht. 
Auf Grund dieses Satzes kann man aus der Voraussetzung 
lim SJix+i (s„) = s die Konvergenz von X dann und nur 
n— ► oo 
dann erschließen, wenn: 
lim + i (na„) = lim -äft* (na„) = • • • = lim (na„) = 0. 
n — ► oo n— ►oo n— ►oo 
Da aber andererseits schon aus: lim = 0 für jedes 
n — ► co 
A > 1 folgt: lim2kA(w«n) = 0, so findet man: 
»l — ► 00 
(B) Weiß man, daß die Reihe X «v von irgend einer 
(beliebig hohen) Ordnung reduzibel ist, so besteht 
die notwendige und hinreichende Bedingung für 
ihre Konvergenz in der Beziehung: 
(4) lim (na„) = 0. 
n -► oo 
Auf Grund des Cauchyschen Grenzwertsatzes ist aber diese 
letztere Beziehung sicher erfüllt, wenn: lim na„ = 0, und so- 
mit folgt weiter: M ~”°° 
(C) Für die Konvergenz einer bereits als reduzibel 
erkannten Reihe XI a v ist hinreichend , daß: 
(5) lim na n = 0. 
n— ► oo 
Anders ausgesprochen : 
Eine divergente Reihe X ß >' m it verschwindendem 
lim na„ kann niemals reduzibel sein. 
n — ► co 
