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0. Frank 
5. Die Schwingungen des gedämpften Systems. 
Ich schreibe die Gleichungen in Determinantenform und 
aufgelöst an : 
m,A 2 +& 1 A + c 1 c 12 
c 21 m l X i +b 2 X + c 2 
A 4 + 2 (D, + D 2 r) A 3 + (1 + r 2 + 4 rD 1 D 2 ) A 2 + 2 (r 2 D, 
+ rD,)A + r ä (l-l) = 0 
n 2 
r = . 
n i 
In der letzten Gleichung bedeutet A die für die Schwin- 
gungszahl Wj = 1 ausgerechnete Wurzel. 
Zunächst stelle ich die Bedingungen fest, unter denen 
die Gleichung vierten Grades auf eine zweiten Grades reduziert 
werden kann. Ich bringe das Diagonalglied, die Determinante 
durch A = z — ^ ~1~ — in die folgende Form (vgl. S. 113): 
u 
z 2 -f- (A, — h 2 ) z -f- hl -f- n\ usw. 
Dadurch fällt das Glied mit z 3 heraus. Das Glied mit z 
fällt dann weg, wenn 
Fall 1. \ = h 2 ist. Das ist die gleiche Bedingung, die 
ganz allgemein gilt (s. S. 113). 
Fall 2. Wenn n\—h\ = n\—h\ ist bzw. 1 — r 2 = D\—r 2 D\. 
Eine derartige Bedingung scheint nur für Systeme von zwei 
Freiheitsgraden zu bestehen. 
In diesen beiden Fällen sind die sämtlichen Lösungen mit 
gleichen reellen Teilen der Wurzeln ( D a = Di,) und gleichen 
imaginären Teilen der Wurzeln ( n' a = n'i ) enthalten. Außerdem 
selbstverständlich der Fall der Doppelwurzel der quadratischen 
Gleichung. 
Im Fall 1 ist die Lösung A = n 1 ( — D x ± i ]/ n 3 — Dl), 
worin w 2 unter der Wurzel die zwei Schwingungen des unge- 
dämpften Systems bedeuten. Wir bekommen 
A 2 + 2DjA+l c 12 r 2 /c 2 
CgJc, A* + 2 D 2 rX+r a 
