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F. Lindemann 
dann das allgemeine Integral einer gewissen Differentialgleichung 
fünfter Ordnung. Letztere kann man nach Halphen 1 ) in 
folgender Weise gewinnen: 
Die Auflösung nach y ergibt die Gleichung des in der 
Form 
«U * 2 + «22 y* + % a i2 x y + 2 a 13 z + 2 a 23 y + a 3S = 0 
gegebenen Kegelschnittes in der Form: 
(1) ^22 V == ( a i 2 x “h ®is) “h I 7 -^33 2 A t3 x A 23 , 
wo mit Aik die Unterdeterminanten des Kegelschnittes bezeichnet 
sind. Durch zweimalige Differentiation findet man: 
dx 2 
(^ 33-^23 -^ 23 ) ( -^33 % A 13 X Ä i3 ) ^ 
und folglich : 
oder entwickelt: 
(9 v (d 2 y\ 2 d*y d 2 y d 3 y d*y 
y ’ \dx V dx 5 dx 2 dx 3 dx 4 
+ 40 
3 
= 0 . 
Dies ist die gesuchte Differentialgleichung aller 
Kegelschnitte. Für eine Parabel ist A 33 = 0. Nach (1) ist 
also ( y ")~ $ eine lineare Funktion von x, und wir erhalten als 
Differentialgleichung aller Parabeln: 
( 3 ) 
d 2 
dx 2 - 
OliY* = 
\dx 2 J 
Fassen wir x und y als Funktionen einer dritten Variabeln X 
auf, so wird bekanntlich: 
d 2 y y“x' — x“y‘ 
w . dx 2 x ‘ 3 
wo 
/ dx 
x = dX' x 
d 2 x . dy .. 
~dX 2 ' V ~ dX' V 
d 2 y 
= dX 2 ' 
1 ) Bulletin de la Societe mathematique de France, tom. 7, 1879, p. 83. 
