Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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Gelingt es also, die Größen V k i als Funktionen von Z (wo 
X einen Punkt der Halbebene bezeichnet, auf welche das Parabel- 
polygon abzubilden ist, und nunmehr X durch Z ersetzt wird) 
zu bestimmen, so genügt die gesuchte Funktion z von Z einer 
homogenen linearen Differentialgleichung dritter Ordnung. Die 
singulären Punkte dieser Gleichung sind die Unendlichkeits- und 
Yerzweigungspunkte der Koeffizienten V k i, d. h. der Funktionen: 
(16) 
V V 
-lil und 3 2 
V V 
'21 ' 21 
Als singuläre Stellen kommen ferner die Ecken des Parabel- 
polygons in Betracht. Eine solche Ecke denken wir uns der 
Einfachheit halber im Anfangspunkte x — 0, y = 0. Die 
beiden dort zusammentreffenden Parabeln lassen sich durch 
einen Parameter t mittels der Formeln 
x = a, t -p ci 2 1 2 , y = 6, t -p b a t 2 , und : 
x = a\ t -f- a- 2 1 2 , y = b[t -\- b‘ 2 t 2 
darstellen, wo dann der Wert t = 0 der im Anfangspunkte 
liegenden Ecke entspricht; also auch für die erste Parabel: 
(17) 9 = («i + i\)t + (a 2 + ib 3 )t 2 , 
und für die zweite Parabel: 
(18) z = ( a\ -(- ib\)t -}- {(io. “J- ib,)t 2 . 
Die Tangenten der beiden Parabeln mögen miteinander 
im Punkte t — 0 den Winkel X einschließen, und es seien a 
und a' die Winkel dieser Tangenten gegen die #-Axe; dann ist: 
a, -f ib t = V b\ ■ e ia 
a\ -\- ib\ = l/ai 2 + b[ 2 • e ia \ und a‘ = a -j- n — X. 
Für die erste Parabel sei nun t durch t, für die zweite 
Parabel t durch T i gemäß den Formeln: 
T = [/ d\ 4- b\-t, = Va\ 2 -\- b[ 2 ■ t 
ersetzt; dann geben die Gleichungen (17) und (18): 
z = e ia T -f- (a + ib)r 2 , und 
z = e ia 'z l -f- ( a‘ -p ib‘)z\. 
