Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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Teil der reellen Axe, welcher der Parabel (23) bei der Ab- 
bildung entspricht, so verläßt der Punkt z das Innere des 
Parabelpolygons, und der unteren Halbebene (Y < 0) der 
Z-Ebene entspricht im oberen Blatte der Riemannschen Fläche 
ein Polygon, das aus dem gegebenen Parabelpolygon durch 
eine Art „Spiegelung“ an der Parabel (23) entsteht 1 ). 
Liegt der Yerzweigungspunkt p der Funktion (24), der 
bekanntlich mit dem Brennpunkte der Parabel (23) identisch 
ist, im Innern des gegebenen Polygons, so muß auch dort die 
Abbildung eindeutig und eindeutig umkehrbar sein. Es be- 
steht also eine Gleichung der Form 
(25) z-p = ^(Z-P), 
wenn P den dem Punkte p in der Halbehene Y > 0 ent- 
sprechenden Punkt bezeichnet, wobei das konstante Glied der 
Potenzreihe iß gleich Null ist. Die Gleichung (24) ergibt also 
ein Resultat der Form 
(26) 
8 X = Az + B + CV*—P = Afß(Z— P) + B 
CVV(Z^P), 
wo A, B, C Konstante bezeichnen. Die Funktion z x hat also 
in P einen Verzweigungspunkt. Entsprechend muß dann die 
Funktion z in dem konjugierten Punkte Pj (in der Halbebene 
Y < 0) einen Verzweigungspunkt haben. Die Brennpunkte 
der anderen begrenzenden Parabeln spielen bei der Fortsetzung 
über die Parabel (23) hinaus keine besondere Rolle. 
Die Differentiation von (26) nach Z gibt: 
z[ = Az' -f ^ z ', 
2 
P 
z ' 2 , 
also : 
Zl — Az -f- — Z — 7 rsr 
2 Vz-p 4 (z-pfh 
v n = B\ z‘ — z\z“ = — \ C z ‘ 3 (z—p)- \ 
*) Vgl. meinen Aufsatz „Die analytische Fortsetzung derjenigen 
Funktionen, welche das Innere eines Kegelschnittes konform auf die 
Halbebene abbilden“, diese Sitzungsberichte, Bd. 26, 1896, p. 491 ff. 
