Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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Parabelpolygon (das aus n Parabelbögen bestehen möge), abge- 
bildet auf ein aus 2 n algebraischer Kurven begrenztes ge- 
schlossenes Polygon, das sich nur in dem einen (etwa dem 
oberen) Blatte der Riemannschen Fläche ausbreitet, in dem die 
Parabel (23) und das gegebene Polygon gezeichnet gedacht 
werden. Um die Gleichung der Kurve zu finden, die einem 
der gegebenen Parabelbögen entspricht, hat man in folgender 
Weise zu verfahren. Die Parabel, an welcher gespiegelt wird, 
habe die Gleichung 
(29) f{z, s x ) = 0 
wie in (23). Ein anderer Parabelbogen sei durch die Gleichung 
(30) cp (x, y) = 0 
in rechtwinkligen Koordinaten gegeben. Ersetzt man in f s x 
durch £ — iy, so wird f = u (x, y, £, y) i v ( x , y, f, y); man 
hat dann aus den drei Gleichungen: 
«(*. y , f, v) = ®(*i £» v) = 0, <p(x, y) = o 
x , y zu eliminieren, um die gesuchte Begrenzungskurve 
des durch Spiegelung erzeugten Polygons zu finden. 
Eine Seite des letzteren wird durch die gegebene Parabel (29) 
geliefert, eine andere Seite derselben erhält man, indem man 
letztere als im unteren Blatte der Riemannschen Fläche ge- 
legen betrachtet und demgemäß die Gleichung <p(x,y) = 0 
durch f{x -f iy, x — iy) = 0 ersetzt. 
Jede Transformation zwischen x -\- iy und f — iy kann 
aufgefaßt werden als eine Transformation der Strahlen, die 
von den beiden imaginären Kreispunkten der Ebene ausgehen ; 
aus jedem Strahle wird ein anderer oder werden mehrere andere. 
Der Punkt x , y (bzw. £, y) ist der eine reelle Punkt eines 
solchen imaginären Strahls 1 ). Die Brennpunkte einer Kurve 
sind die reellen Punkte der von einem Kreispunkte ausgehen- 
x ) Vgl. meine Darstellung einer solchen Interpretation der kom- 
plexen Ebene in dem meiner Bearbeitung von Celebscbs Vorlesungen 
über Geometrie, Bd. II, S. 621 ff., 1891 oder eine entsprechende Dar- 
stellung am Schlüsse der neuen Auflage des ersten Bandes. 
