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f\ Lindemann 
K 
31 
V ' ( ßs , ßsl \ ^32 ( ß s 1_ ßs' \ 
s\z-p s + z-p sl )' r n s\z—p s ' Z—P s ij' 
ßs , ßsl , 7 s . Y>1 \ 
^ Ps l)V’ 
( 32 ) Vj\ 
V„ 
+ 
2--P. ‘ Z-P sX 1 (Z-P S )3 + (Z 
wo sich die Summen über alle im Innern des Polygons liegen- 
den Brennpunkte der begrenzenden Parabeln erstrecken, im 
Innern der oberen Halbebene keine Singularität mehr besitzen; 
aber auch in der unteren Halbebene (Y < 0) verhalten sie sich 
überall regulär; nur auf der reellen Axe liegen die singulären 
Stellen, die den Ecken des Polygons entsprechen. 
§ 5. Aufstellung der Differentialgleichung. 
Die in der Differentialgleichung (15) auftretenden Koef- 
fizienten P und Q sind durch vorstehende Untersuchungen bis 
auf Konstante bestimmt, denn andere als die in den §§ 2 und 4 
besprochenen singulären Punkte können nicht Vorkommen. Bis 
auf stets konvergente Potenzreihen setzen sich also die Funk- 
tionen P, Q aus den Summen zusammen, die für die Quotien- 
ten V 31 :V 2l , V 32 : V 21 und F 41 : V 21 in den Gleichungen (22 a) 
und (32) aufgestellt wurden. 
Damit kein singulärer Punkt im Unendlichen auftritt, muß 
die lineare homogene Differentialgleichung (15) zu der soge- 
nannten Fuchsschen Klasse gehören, d. h. die betreffenden 
Potenzreihen müssen sich auf Null reduzieren. Wegen der 
Identitäten 
dK, 
dK. 
21 _ V 
dZ 31 ’ dZ 
= y u + y 
32 
genügen die oben eingeführten Konstanten a, ß, ß‘, ß“ und y 
gewissen leicht aufzustellenden Bedingungen; die vollständige 
Aufstellung derselben würde die Entwicklung des Quadrates 
des Quotienten V 3I : V 2] in Partialbrüche verlangen. Schließ- 
lich wird somit das Problem der Abbildung des Parabel- 
polygons der £-Ebene auf die Halbebene F>0 der 
Z- Ebene durch die Lösung der linearen homogenen 
Differentialgleichung 
