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A. Johnsen 
in Richtung ihrer drei zweizähligen Schraubungsaxen ergeben. 
Die in der Literatur verbreitete Angabe, jener Physiker habe 
Drehungsvermögen nur für die genannten drei Richtungen nach- 
weisen können, ist mißverständlich. Die Sache liegt nämlich 
so, daß Sohncke seine Untersuchung lediglich für jene drei 
Richtungen ausgeführt und ausdrücklich als unvollständig .be- 
zeichnet hat. Insonderheit ist bei Sohncke nicht die Rede 
von den vier dreizähligen Schraubungsaxen der tetarto- 
edrischen Strukturen sowie von den plagiedrischen Aggregat- 
zuständen, in denen außer drei vierzähligen und vier drei- 
zähligen noch sechs zweizählige Schraubungsaxen auftreten. 
Im folgenden soll gezeigt werden, daß man für alle Rich- 
tungen eines regulär-tetartoedrischen oder -plagiedrischen Kri- 
stalles ein und dasselbe Drehungsvermögen erhält, wenn man 
eine sehr einfache Voraussetzung macht. Hierzu muß zunächst 
ein mathematischer Satz mitgeteilt sein, der anscheinend neu ist. 
II. „Verallgemeinerter Kosinusquadratsatz.“ 
Die fünf Platonischen Körper (Würfel, Oktaeder, Tetra- 
eder, Ikosaeder und Pentagondodekaeder) unterliegen folgen- 
dem Gesetz. Umfaßt irgend eine Symmetrieaxenart n gleich- 
wertige, also durch die Symmetrieoperationen des Polyeders 
ineinander übergehende Axen und bilden diese mit einer be- 
liebigen Richtung R die n Winkel cp l , <p 2 , . . . cp H , so gilt 
(1) S cos 2 9V = C'» 
r= 1 
wo C eine rationale Konstante darstellt; die Summe der n Kosinus- 
quadrate ist also unabhängig von der Richtung R, was eine 
Verallgemeinerung des für rechtwinklige Koordinatensysteme 
bekannten Kosinusquadratsatzes bedeutet. 1 ) 
III. Der skalare Charakter des Drehungsvermögens regulärer Kristalle. 
Nehmen wir an, daß die optische Drehung regulärer Kristalle 
von den Schraubungsaxen ausgeht, so wird die von einer solchen 
*) Ob (1) auch für gewisse andere Polyeder gilt, bleibt zu unter- 
