Zur Theorie der Kurven im Raume. 
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Für die homogene Bedingung 
8) ap -\-bq-\- er — 0, 
in der «, b, c Funktionen von s sind, folgt aus § III, Ia 
8 a) alTg -\- bq 1 -\- c = 0. 
Dies ist für a 0 eine Riccatische Gleichung für q x . 
Sie zeigt, daß in der dem Punkte P zugeordneten Ebene 8) 
je vier Erzeugende PQ X , PQ 2 , PQ 3 , PQ i: denen die Kurven -Tj , 
/ 2 , r 3 , r x entsprechen, ein konstantes Doppelverhältnis 
haben, so daß also aus irgend drei partikulären Lösungen 
von 8) durch diese Doppelverhältniseigenschaft jede weitere 
Lösung abgeleitet werden kann, was übrigens geometrisch 
selbstverständlich ist. Ist aber a = 0 , so folgt aus 8 a) q x 
selbst. Daß aber in der Ebene bq -\- er = 0 , welche jetzt 
die Tangente von G enthält, nur eine einzige Kurve r 
vorhanden ist, folgt aus den Gleichungen 5a) des § I. Denn 
man hat jetzt 
* + P'i — — = 0, 2 i -f - + — = 0, r[ — ^ = 0, 
Q Q T X 
also zur Bestimmung von r x die Gleichung 
b (rix) -{- er, = 0, 
welche r x bis auf einen konstanten Faktor bestimmt, der dann 
auch in 
Qi = r ix, Pi = —Q 
i + (rix)‘ 
und z auftritt, so daß die p , q, r selbst völlig bestimmt 
sind. Die allgemeinere Gleichung 
9) ap + bq -f- er = 1 , 
in der a, b, c Funktionen von s sind, liefert für den Fall einer 
Raumkurve C (x ^ oo) und 
und diese Gleichung wird durch die Substitution ( — yj = (1 -p y>) <p* in 
die Riccatische Gleichung 
2 Q — f(l + <P 2 ) 
verwandelt, was allerdings viel einfacher in 2) § IY erreicht wurde. 
