Zur Theorie der Kurven im Raume. 
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§ viii. 
Über die Invarianten gewisser Differentialgleichungen fl-Ordnung, 
die durch eine lineare homogene Differentialgleichung n -(- I-Ordnung 
lösbar sind. 
Solche Differentialgleiehungen sind in den vorigen Para- 
graphen mehrfach hervorgetreten. Eine lineare homogene D n = 0 
Ä ni + + • • • + zA 0 = 0 1 ) 
geht durch die Substitution 
1 ) * = eS°' ds 
in eine nicht lineare D n _i = 0 über, deren Form im allge- 
meinen nicht einfach ist, deren Integral o x jetzt als Quotient 
der die Verhältnisse von n linear homogenen Konstanten c ll 
c a ... c„ enthaltenden Ausdrücke s ‘ : z erscheint, und diese 
D n - i als eine Verallgemeinerung der Riccatischen Glei- 
ch ung kennzeichnet. 
Es handelt sich jetzt umgekehrt um die Frage: Wann 
läßt sich die gegebene D„_i = 0 durch die Substitution 1) 
auf eine lineare homogene D n — 0 reduzieren? 
Aus der Gleichung 
2) Ae" + Bz‘ + Cz = 0 
wird nach 1) 
3) A{o\ o{) -}- -f- C x = 0. 
Setzt man umgekehrt in der willkürlich gegebenen Glei- 
chung, in der natürlich A., und B x nicht Null sind 
4) A x o 2 
an Stelle von o 
5) 
so geht sie über in 
-|- B x o‘ -}- (7j o -j- — 0 
o = Xo x , 
1 ) Die Buchstaben A, B, C . . . bedeuten im folgenden Funktionen 
der unabhängigen Variabein s. 
