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H. Liebmann 
empfunden wird. Wir wollen dahin gestellt sein lassen, ob in 
diesem Sinne — „dabei überhaupt gar nichts herauskommt“, 
neigen aber zu einer milderen Auffassung. 
Jedenfalls läßt sich Boltzmanns Idee und darin dürfte ihr 
unbestreitbarer bleibender Wert liegen — zu einer praktisch 
durchführbaren angenäherten Lösung der Randwertaufgabe aus- 
bauen, die an Einfachheit nichts zu wünschen übrig läßt und 
wohl verdient, neben dem Verfahren von Runge 1 ) in den 
Dienst der angewandten Mathematik gestellt zu werden. 
Boltzmann ersetzt die Differentialgleichung 
3 2 w d % u 
Au = — - -\ = 0 
dx 1 ' dy % 
durch die Differenzengleichung 
D 2 u = u(x — e , y) + u(x + e, y) + u (x, y — e) + u(x, y 
+ e) — 4 u (x, y) = 0, 
und er kann dann die (erste) Randwertaufgabe zunächst für 
ein Quadrat angenähert in folgender Weise lösen: Das Quadrat 
wird durch äquidistante Parallelen zu den Seiten in ein Netz 
von n 2 Quadraten zerlegt, so daß ein Gitter von ( n — l) 2 inneren 
Punkten und 4 {n — 1) Randpunkten entsteht — die vier Eck- 
punkte spielen zunächst keine Rolle. Zur Bestimmung der 
Werte u ik der Lösung der Differenzengleichung dienen dann 
die (w — l) 2 Gleichungen, die der Forderung Ausdruck ver- 
leihen, daß — gemäß der Differenzengleichung — u ik gleich 
Das Gebiet der numerischen und graphischen Integration ist im 
Artikel II C 2 der math. Enzyklopädie (Runge und Willers) ausführ- 
lich dargestellt. In Betracht kommen hier vor allem die in Kap. III 
(Graphische und numerische Integration partieller Differentialgleichungen) 
besprochenen Arbeiten von Runge selbst (Fußnote 529, S. 165, 549, 
S. 173) und seinem inzwischen auf dem Felde der Ehre gefallenen Schüler 
Rottsieper, endlich die umfangreiche Arbeit von Richardson (Fuß- 
note 548, S. 173). Auf die letztgenannte: Approximate arithmetical solu- 
tion by finite differences of physical problems (London R. S. Philos. 
Trans. A 210 (1910), p. 507 — 537) kommen wir noch zu sprechen (§ 3, 3), 
weil sie trotz gänzlich verschiedener Methode doch von allen genannten 
die engste Berührung mit unseren Darlegungen zeigt. 
