Ermittelung harmonischer Funktionen. 
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dem arithmetischen Mittel der Werte in den vier benachbarten 
Gitterpunkten sein soll; die 4 (w — 1) Werte am Rand sind 
gegeben. Man erhält dann die u ik durch Auflösung dieser 
Gleichungen. 
Ob sich der Grenzübergang für n = o° unmittelbar durch- 
führen läßt, zu dieser Frage nehmen wir noch Stellung, unsere 
Hauptfrage ist: Wie kann man die Differenzengleichung auflösen? 
2. Eine Reihe von Fragen. Wir haben, der durch 
Boltzmann (bzw. Buchholz) gegebenen Anregung folgend, eine 
Reihe von Aufgaben zu besprechen, die wir hier getrennt 
aufzählen. 
1. Unmittelbare Bestimmung der Werte der Gitterfunktion 
durch Auflösung der Differenzengleichung für n = 2, 3, 4 . . . — 
Es zeigt sich, wie zu erwarten, bald eine Schranke, an der die 
Rechenfreudigkeit erlahmt. 
2. Angenäherte Auflösung der Differenzengleichung und 
Nachweis der Konvergenz gegen die strenge Auflösung. Hierzu 
gab ein gelegentlich von Jacobi verwendeter Gedanke den 
Anlaß 1 ); die Erinnerung an diese Überlegungen erst war es, die 
die praktische Durchführung von Boltzmanns Idee möglich machte. 
3. Änderung des Gebietes : An Stelle des Quadrats können 
andere einfach zusammenhängende Gebiete der Ebene treten, 
die etwa durch einen Treppenpolygonzug oder, allgemein zu 
reden, durch eine gezeichnet vorliegende Kurve begrenzt sind. 
4. Ersetzung des rechtwinkligen Parallelkoordinatennetzes 
durch andere isotherme Koordinaten, die der Randform ange- 
paßt sind. Insbesondere kommt das von Runge mit bestem 
Erfolg verwendete Netz isotherm geteilter Polarkoordinaten 
in Betracht. 
5. Anwendung auf die konforme Abbildung des Inneren 
eines einfach zusammenhängenden Gebietes auf das Kreisinnere. 
Jacobi gibt an, wie man lineare Gleichungen, deren unmittel- 
bare Lösung unbequem ist, einem iterierenden Approximationsverfahren 
zugänglich machen kann (Ges. Werke III (Berlin 1884), S. 467—478). 
In erster Linie denkt Jacobi an die Normalgleichungen der Methode der 
kleinsten Quadrate. 
