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H. Liebmann 
Beiläufig seien noch einige Bemerkungen über Rechteck 
und Würfel gestattet. Bei dem Rechteck mit 3-7 = 21 inneren 
Gitterpunkten steigt die Gewichtsumme schon auf 161 352 
128 an! 1 ) Die Rechnung wurde durch Anwendung eines Ver- 
schmelzungsverfahrens durchgeführt, das Verwandtschaft mit den 
Methoden der Potentialtheorie zeigt: Man legt zwei Quadrate, 
die je neun innere Gitterpunkte aufweisen, so aneinander, daß 
die rechte Seite des ersten mit der linken des zweiten zu- 
sammenfällt, drückt dann die neun Werte 
u ik (£ = 1) 2, 3; k = 1, 2, 3) 
und die neun Werte 
u ik ( i = 1, 2, 3; k = 5, 6, 7) 
durch die vorgeschriebenen Randwerte auf der linken und 
rechten Hälfte des Rechtecks aus und die unbekannten m u u 2i w 31 
auf der mittleren Vertikalen. Nimmt man dann noch die 
drei Gleichungen hinzu, die aus dem Verbindungsstück 
• 
a u 
U X3 
u H 
U ,S 
U 23 
U 23 
U 33 
U 3i 
U 35 
entstehen, 
also die Gleichungen, 
die aus den Gewichtstabellen 
15 
15 
u u 15 
1 
1 . 
1 
1 
1 . 
1 
4 
. 4 
4 u u 
4 
4 . 
4 
1 
. 1 
1 . 
1 
15 u 3l 
15 
1 
0] = 56 
1 
[Pl = 
14 
15 
[>] = 
56 
abzulesen 
sind, so kann 
man die 21 
Gleichungen 
lösen mit 
Benützung früherer Ergebnisse. 
Zu ähnlichen Zahlenungetümen gelangt Runge bei der Inte- 
gration von Jm = const (Z. f. Math. u. Phys. 56 (1908), S. 225 — 233), wo 
43 Unbekannte zu bestimmen waren. 
