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H. Liebmann 
harmonische Funktion keinen Wert hat, so fest wir überzeugt 
sind, daß diese Konvergenz bei zunehmender Verdichtung des 
Gitters und Entnahme der vorzuschreibenden Werte der Gitter- 
funktion in den Randpunkten aus dem Werteverrat der am 
Rande vorgeschriebenen, im Innern zu bestimmenden harmo- 
nischen Funktion eben gegen diese Funktion hin sehr gut fort- 
schreitet. Gewiß, man kann sehr wohl eine Schätzung vor- 
nehmen, bei der man die Gitterfunktion zerlegt in die harmo- 
nische, vermehrt um ein Restglied, dessen einer Faktor die 
dritte Potenz der Intervallgröße e ist, während der andere 
durch ein mit Zahlenkoeffizienten versehenes Aggregat aus den 
Mittelwerten der dritten partiellen Differentialquotienten ge- 
geben ist 1 ). Aber diese dritten Differentialquotienten werden 
ja nur unter sehr engen Voraussetzungen im ganzen Innern 
innerhalb endlicher Schranken bleiben ! Dieses schwere Be- 
denken gegen eine gleichmäßige Restschätzung ließe sich ja 
zum Teil durch die Überlegung besänftigen, daß man bei 
w 2 Punkten im Innern (n eine gegebene Zahl) doch niemals 
in die Nähe des kritischen Randes kommt, wo die Endlichkeit 
der Differentialquotienten aufhört. 
Jedenfalls ist die Konvergenz der Gitterfunktion gegen 
die — als existierend vorausgesetzte — Lösung der Randwert- 
aufgabe durch eine allen Fällen gerecht werdende Methode 
nur schwer zu erweisen, und um so schlimmer scheint es zu 
stehen mit dem Versuch, gar erst aus der Gitterfunktion für 
limes n = oo die Existenz der Lösung der Randwertaufgabe 
nachweisen zu wollen ! 
Viel günstiger scheinen die Dinge zu liegen, wenn man 
z. B. die Differentialgleichung 
Au = k 2 u 
und die zugeordnete Differenzengleichung 
D 2 u = u{x — e, y) + u (x 4- e, y) + u(x, y — e) -f- u(x, y 
+ <0 — 4 u{x,y) = e 2 k 2 u(x, y) 
betrachtet. 
J ) Ähnlich bei Richardson, a. a. 0., p. 310. 
