Ermittelung harmonischer Punktionen. 
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Wenn man nämlich für Au = 0 und Au = k 2 u, vielmehr 
für die beiden zugeordneten Differenzengleichungen die fort- 
schreitende Teilung in der Weise vornimmt ( n = 2, 4, 8, 16 . . .), 
daß jeder bei einer Teilung auftretende Gitterpunkt bei allen 
folgenden wieder vorkommt, so zeigt sich, daß die Werte 
der Lösung der ersten Differenzengleichung mit zunehmender 
Feinteilung des Netzes eine (selbstverständlich konvergente) 
nicht monotone Folge bilden, während diese Folge bei der 
allgemeineren Differenzengleichung von Anfang an monoton ist 
und jedenfalls auch bei anderen Beispielen von einer bestimmten 
Stelle an monoton wird. Wenn sich der monotone Charakter 
der Folge erweisen läßt, wird der Konvergenzbeweis gewiß 
leichter zu führen sein. So scheinen alle näheren Umstände 
darauf hinzudeuten, daß auf dem Wege über die Differenzen- 
gleichung die Existenz der Lösung der Randwertaufgabe zuerst 
für die allgemeinere Differentialgleichung geführt werden kann 
und dann wohl auch durch Grenzübergang für k — 0. Es 
würde sich dann bei der „ Ermittelungsmethode“ Boltzmanns 
genau wiederholen, was C. Neumann für seine Methode des 
arithmetischen Mittels festgestellt hat 1 ): daß sie nämlich bei 
von Null verschiedenem k leichter zum Existenzbeweis führt, 
als für k = 0. 
So viel vorläufig über die Durchführung der Idee des 
Boltzmann sehen „ Existenzbeweises * . 
3. Ein Beispiel. Wieweit die Übereinstimmung zwischen 
Gitterfunktion und harmonischer Funktion „unter günstigen 
Umständen“ gehen kann, zeigt das Beispiel der harmonischen 
Funktion u(x,y) = sin xshy. 
Berechnet man sie für die Gitterpunkte 
* = |, y = ü--(M = 0 - 1 "-- 8 )' 
*) Siehe Math. Enc. II A 7 c: Randwertaufgaben in der Theorie der 
partiellen Differentialgleichungen (Sommerfeld), Nr. 11. 
Sitznngsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1918. 
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