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H. Liebmanü 
u1 k (i = 1 ; Jb = 1, ...» — 1) 
(i — n — 1 ; 1c — 1, ... n — 1) 
(i = 1, . . . n — 1; Tc = 1) 
(i = 1, ... n — 1 ; 1c = n — 1) 
jeweils ersetzt durch 
u'ik — l,fc + w»*+l, k -f- ulk— 1 + 
— die Randwerte sind fest gegeben — so wird dadurch die 
Gitterfunktion der ersten und letzten inneren Zeile und Reihe 
verbessert. Mit diesen verbesserten Werten und den Rohwerten 
der dritten und (w — 3) ten Reihe und Zeile verbessert man die 
Werte in der zweiten und ( n — 2) ten Zeile und Reihe usw. 
Ist man bis zum innersten Quadrat vorgeschritten, so beginnt 
man aufs neue von außgn her, rechnet bis zur Mitte durch usw. 
Wir behaupten, daß die in dieser Weise verbesserten Werte 
in geometrischer Progression gegen die gesuchten Werte konvergieren. 
Wir wissen, daß es bei gegebenen Randwerten eine einzige, 
wohl bestimmte Gitterfunktion gibt, welche die Differenzen- 
gleichung streng erfüllt und daher durch das Approximations- 
verfahren nicht mehr verändert wird. Diese strenge Lösung 
sei mit U bezeichnet, bzw. mit U ik . Ist dann v ik ein be- 
liebiger Ansatz, aber mit richtigen Randwerten, so ist zu 
zeigen, daß die Methode, angewendet auf 
ulk = Uik — Vik 
bei unbegrenzter Wiederholung die Werte dieser Gitterfunktion 
gegen Null konvergieren läßt. 
Zum Beweis genügt es also völlig, wenn wir zeigen, daß 
bei einheitlich vorgeschriebenen Randiverten Null die nach dem 
angegebenen Verfahren verbesserten Werte nach Null kon- 
vergieren. Sei in diesem Falle — M l der kleinste negative 
und -\- M 2 der größte positive unter den willkürlich ange- 
nommenen Rohwerten, so liegen nach der ersten Verbesserung 
die Werte auf dem ersten inneren Ring von Gitterpunkten 
zwischen den Schranken 
3 X, ... , 3JK, 
