Ermittelung harmonischer Funktionen. 
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Winkel, den ein von der Ecke ausgehender Strahl mit der 
oberen Quadratseite einschließt, durch cp, so ist in der Nähe 
der Ecke 
u = 1 — 
4 <p 
zu setzen und damit sind die Richtungen bekannt, unter denen 
die Linien u = const. von den Ecken ausgehen. 
An solchen Stellen kann man sich auch dadurch helfen, 
daß man hier das Netz enger wählt, also die Randwertauf- 
gabe nochmals für ein kleineres Gebiet löst, wobei einerseits 
die gegebenen Randwerte, anderseits, soweit nämlich der neue 
Rand im Innern des Grundgebietes verläuft, auf diesem die 
durch graphische und' numerische Interpolation ergänzten Werte 
der bis dahin durchgeführten Rechnungen zu benützen sind. 
[Analytisch könnte, wenn u{x,y) eine erste Annäherung, 
eine für jeden Punkt gegebene Funktion ist, das Verfahren 
dahin verfeinert werden, daß man um jeden Punkt im Innern 
einen kleinen, den Rand nicht überschreitenden Kreis legt und 
u (x, y) jedesmal durch den Mittelwert der Funktion auf der 
Kreisperipherie ersetzt. Man hätte dann die Radien dieser 
Kreise nach Null konvergieren zu lassen, um die harmonische 
Funktion zu erhalten. Auf diese Weise ließe sich der Grund- 
gedanke von Boltzmann umformen, um für die Analysis ver- 
wendbar zu werden]. — 
Wir haben bisher nur vom Quadrat gesprochen. Ist der 
Rand sodann ein Treppenp'olygonzug, so ändert sich im Grunde 
nichts am Konvergenzbeweis, nur tritt an die Stelle der Zahl ^ 
die Zahl woraus zu entnehmen ist, daß auch rechnerisch 
die Konvergenz etwas langsamer fortschreiten wird. 
Liegt als Rand eine gezeichnete oder analytisch gegebene 
Kurve vor, so ist dort die Differenzengleichung in leicht er- 
kennbarer Weise umzuwandeln. Sind z. B. P (x, y), P, ( x + £, y), 
P 2 (x,y — e ) Punkte im Innern mit „Rohwerten“ u°, ul, u\ und 
schneiden die durch P gehenden Parallelen zu den Achsen 
die Randkurve in den Punkten S l (x — a, e, y) bzw. S 2 [x, y -f- a 2 e), 
wobei ctj und a t zwischen Null und Eins liegen, sind ferner 
