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F. Lindemann 
das Parabelpolygon entstehen, wenn die durch die erste Qua- 
dratur eingeführte willkürliche Konstante gleich Null genom- 
men wird. Es entsteht dann eine lineare Differentialgleichung 
dritter Ordnung, deren Koeffizienten sich in den singulären 
Punkten verhalten wie rationale Funktionen (deshalb aber 
nicht, wie in meiner letzten Arbeit gesagt wurde, selbst rationale 
Funktionen sind). 
§ I. Die Differentialgleichung der Kegelschnitte. 
Bei unserer Behandlung des Abbildungsproblems für ein 
Parabelpolygon gingen wir von der Differentialgleichung der 
Parabel 
( 1 ) 
o d l y d 4 J/ 
dx 1 dx 4 
aus. Die linke Seite der Gleichung ist eine Reciprokante im 
Sinne Sylvesters 1 ); zur Abkürzung wenden wir dessen Be- 
rechnungsweise an und setzen: 
( 2 ) 
& y d *J -h diy - r d * y - r? 
dx* ' dx 3 ’ dx 4 ’ dx 5 
dann erscheint die Gleichung (1) in der Form 
(3) P = Sac — 5 6 * * 8 = 0. 
Entsprechend benutzen wir jetzt die Differentialgleichung 
der allgemeinen Kurve zweiter Ordnung in der Form: 4 ) 
(4) L = 9 a 1 d — 45 a b c -p 40 b 3 = 0. 
Die linke Seite läßt sich auf P und P‘ x (den Differential- 
quotienten von P nach x) zurückführen; es ist nämlich 
(5) Px = 3ad — 7 bc; 
J ) Sylvesters Arbeiten übei Reciprokanten sind abgedruckt in 
Bd. IV seiner Mathematical Papers, Cambridge 1912. 
8 ) Diese Gleichung hatte ich a. a. 0. unter Bezugnahme auf eine 
Abhandlung von Halphen abgeleitet. Wie Sylvester (1. c. p. 283 und 380) 
bemerkt, wurde sie schon von Monge aufgestellt: Corresp. sur l’Ecole 
Polytechnique, Paris, II, 1809—13, p. 51—54. 
