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F. Lindemann 
§ 2. Die Differentialgleichung des Problems. 
Die Gleichung L = 0 ist für alle Kurven zweiter Ordnung 
erfüllt. Führt man statt der Variabeln x und y die Variabein 
z = x -f- iy und z 1 = x — iy, 
ein, so wird die allgemeinste Gleichung zweiten Grades in x, y 
ersetzt durch eine ebenso allgemeine Gleichung zwischen z und . 
Dabei ist 
z“z‘ — z\z“ — — 2 i(y" x' — x“ y‘). 
Setzen wir also 
dV 
(12) — 2 i V = V = z\ z‘ — z[ z", V = -r-= = z'i z‘ — z\ z“‘ • • • , 
( l JL 
(12a) II = -| 9 [— 9 V i z‘"-\-9VV‘z' l +(3VV l '—5V n )z'], 77'= ^ 
so geht zufolge (11) die Differentialgleichung L — 0 über in: 
(13) 3 V • IT - z‘ — 8 ( V‘ z' — 3 V z“) U - 0. 
Gelingt es, die Ausdrücke V, V\ V“ . . . oder ihre Ver- 
hältnisse als Funktion von Z — X + i Y darzustellen, so gibt 
(13) eine Differentialgleichung, welche z als Funktion von X 
längs der das gegebene Flächenstück begrenzenden Kegel- 
schnitte (d. h. in der iv-Ebene längs der reellen Axe) definiert 
und welche folglich nach dem Prinzipe der Fortsetzung auch 
für die ganze obere Halbebene z als Funktion von Z im Sinne 
der gestellten Abbildungsaufgabe liefert. 
Als singuläre Punkte der Funktionen V, und damit der 
Integrale der Differentialgleichung (13), kommen auf dem Rande 
des gegebenen Flächenstückes die Ecken des Polygons in Be- 
tracht, im Innern desselben die Brennpunkte der den Rand 
bildenden Kegelschnitte, bzw. die diesen Punkten in der Halb- 
ebene Y> 0 entsprechenden Punkte. Der Beweis dafür ist 
genau, wie bei den Parabelpolygonen meiner früheren Ab- 
handlung. Da die durch (12) gegebene Funktion V nur in 
Wendepunkten der Kurve verschwindet, auf welcher der Punkt#, y 
(d. i. z, z t ) liegt, so kommen andere singuläre Punkte nicht in 
