Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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Ist die Parabel in der Form 
(25 c) (a' + ia“)X x + (/?' + iß“)X* 1 
durch ihre Parameterdarstellung gegeben, wobei Potenzen von 
X mit dem Exponenten X -(- 1 vernachlässigt sind, und wo 
a = 0, A = 0 gedacht ist, so wird: 
a“ + 2ß“X x 
a‘ + 2ß‘X x ’ 
und, wenn X den Faktor e ni erhält, für die nächste Parabel 
d'y a (/ cosA7r -f a'sin^jr -f- X 2A (/3 "cos2Ajt — /^'sin , 
d'x a 1 cos X ti — ci“ sin Xji -\ X 2X (ß“ cos2 X ti -\- ß‘ sin 2 Xn) ^ 
folglich für X = 0: tg d' = tg (<5 -| - Xji), wie es sein muß. 
Liegt der singuläre Punkt A in einem Brennpunkt, so 
muß die determinierende Fundamentalgleichung (25 b) neben 
der Wurzel q = 0 mindestens eine Wurzel q = 1 haben. Es 
ergibt sich also < 
(25 c) e = 0 oder e = — | . 
Im ersteren Falle ergibt sich als dritte Wurzel der Wert 2, 
im zweiten Falle der Wert — Da e von Null ver- 
schieden sein muß, so kann nur dieser zweite Fall 
eintreten; es muß also für einen Brennpunkt e = — | 
genommen werden. 
Das Verhalten der Integrale an der Stelle Z — oo wird 
in §. 6 näher erörtert werden. 
Ist in (25) C von Null verschieden, so kann die Fuchssche 
Theorie nicht angewandt werden; man findet aber in diesem 
Falle, sobald die Funktion V bekannt ist, durch fol- 
genden Ansatz eine Lösung der Differentialgleichung. 
Infolge der Relation (21) kann in der Umgebung der 
singulären Stelle A gesetzt werden : 
V — (Z—A) 3X ~ 3 Aß(Z—A), 
(25 b) 
wo iß eine Potenzreihe bedeutet. Multiplizieren wir also die 
linke Seite von (25) mit (Z — A) 3 , so erscheint diese Differential- 
gleichung in der Form: 
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