Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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zu untersuchen. Dann geht (42), indem z sich in £ ver- 
wandelt, über in : 
(43) 
Die Lösung £ dieser Gleichung muß dann eine 
algebraische Funktion der Lösung# von (42) sein, wie 
die folgenden Betrachtungen zeigen. 
§ 8. Die Fortsetzung der Abbildungsfunktion. 
Wenn nämlich der Punkte das Innere des Polygons verläßt 
und den begrenzenden Kegelschnitt ÜT,, der durch die Gleichung 
(44) 
fl (*. *x) = 0 
gegeben sei, überschreitet, so überschreitet der entsprechende 
Punkt Z die zu ÜT, entsprechende Strecke L, der X-Axe und 
tritt in die untere Halbebene über. Enthält das gegebene 
Polygon keinen Brennpunkt des Kegelschnitts (44), so ent- 
spricht der unteren Halbebene ein Polygon, das von alge- 
braischen Kurven begrenzt wird und sich an das gegebene 
Polygon längs des Kegelschnittes X, anlegt. Die Zahl seiner 
Ecken ist gleich der Zahl der Ecken des gegebenen Polygons, 
und die Winkel in diesen Ecken sind gleich den entsprechenden 
Winkeln des ursprünglichen Polygons. 
Enthält aber das gegebene Polygon einen Brennpunkt des 
Kegelschnittes (44), so entspricht der Halbebene Y < 0 als 
„Spiegelbild“ des gegebenen Bereiches längs des Kegelschnittes 
(44) ein Polygon, das sich durch zwei Blätter der zu (44) ge- 
hörigen Riemannschen Fläche (welche entsteht, wenn z x als 
Funktion von z aufgefaßt wird) erstreckt und sich erst nach 
zweimaligem Umgänge schließt; die Zahl der Seiten und Ecken 
dieses Spiegelbildes ist doppelt so groß, als die entsprechende 
Zahl bei dem gegebenen Polygon. 
