Die konforme Abbildung der Halbebene etc. 
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der entsprechende Punkt Z die Strecke L 2 und tritt dabei aus 
der Halbebene Y < 0 wieder in die obere Haibene Y > 0 ein. 
Letzterer entspricht jetzt in der ^-Ebene ein Polygon, das aus 
dem Spiegelbilde des zuerst gegebenen Polygons (das aus ihm 
durch Spiegelung an /j — 0 entstanden war) durch weitere 
Spiegelung an der Kurve ip 2 = 0 hervorgeht. Jedem Punkte z 
im Innern des gegebenen Polygons entspricht so zunächst ein 
Punkt | — ix) vermöge (45) im ersten Spiegelbilde und diesem 
ein Punkt £ = £' -p irj 1 im zweiten Spiegelbilde vermöge der 
Gleichung V ,(f' + «<!', f -*>») = 0, 
die für £' = £, rj‘ = rj die Kurve = 0 darstellt. Die 
Funktion £ ist also eine algebraische Funktion von z und muh 
der Differentialgleichung (43) genügen, wenn bei dem Um- 
gänge von Z um den Punkt A x aus W die Funktion Q ent- 
standen ist. So ergeben sich algebraische Bezieh ungen 
zwischen den Lösungen £ und z zweier Differential- 
gleichungen, die zunächst durch transzendente Rela- 
tionen verknüpft sind. 
Das zweite Spiegelbild hat wegen der Konformität der 
Beziehungen an den Ecken dieselben Winkel wie das zuerst 
gegebene Polygon. 
Die Koeffizienten von 
<P£ 
dZ % 
und 
d A 
dZ 
in 
(43) müssen daher sich in der Nähe des Punktes A 1 ebenso 
verhalten wie die Koeffizienten der von z befriedigten Dif- 
ferentialgleichung (42). In der Tat ist, wenn ü — W~' ge- 
setzt wird: 
r £, W" Q“ Q‘ 
V Z—A 1 ^""~ 6 W‘ Q' 2 Q ’ 
W‘ = (Z-A)- (•• •), wo , = |, 
Q" _ — r) — 2 Q“ 
Q' ~ Z—A H ’ Q‘ ~ 
— r\ 4 - 1 
Z — A 
also: 
