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Integralin Varianten und isoperimetrische Probleme. 
Von Heinrich Liebmann. 
Vorgelegt in der Sitzung am 7. Dezember 1918. 
Ernst Mach hat einmal gesagt: „ Verschiedene Wissens- 
gebiete entwickeln sich oft lange Zeit nebeneinander, ohne daß 
eines auf das andere Einfluß nimmt. Gelegentlich können sie 
aber wieder in engeren Kontakt treten, wenn bemerkt wird, 
daß die Lehren des einen durch jene des andern eine uner- 
wartete Aufklärung finden.“ Diese Erfahrung bestätigt sich 
auch für die Teilgebiete einer Wissenschaft. Innerhalb der 
Mathematik stehen z. B. in diesem Verhältnis bald kühler 
Zurückhaltung, bald fördernder Wechselwirkung die Variations- 
rechnung und alle jene Forschungen, die sich mit der geome- 
trischen Theorie der Differentialgleichungen, insbesondere mit 
den Berührungstransformationen befassen. Man braucht nur an 
Namen wie Weierstraß und Lie zu erinnern, um eine Zeit 
völliger Trennung sich ins Gedächtnis zu rufen. Das hat sich 
aber geändert; es war das Bestreben von Car tan, Engel, 
Kneser und dem Verfasser dieser Mitteilung, durch die in der Ge- 
dankenrichtung von Lie gelegenen Vorstellungen der Variations- 
rechnung neue Seiten abzugewinnen — oder nach von anderer 
Seite ausgesprochener Auffassung alte Saiten neu erklingen zu 
lassen — weniger in der Richtung nach den strengen Existenz- 
beweisen hin, als mit der Absicht, die Bedeutung der Ex- 
tremalen dem geometrischen Verständnis näher zu führen 1 ). 
9 Vgl. Math. Enc. III D 7 {Berührungstransformationen), Nr. 8 e, 
sowie die ergänzende Bemerkung, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver. 
