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H. Liebmann 
Damit ergeben sich dann von selbst, insbesondere durch erneute 
Heranziehung der von Li e zu einem Lehrgebäude ausgebauten 
Theorie der Berührungstransformationen, neue Aufgaben. 
Ganz abgesehen aber von dieser Erweiterung und Be- 
reicherung des Gebietes, über deren Wert ein selbst seit Jahren 
an derartigen Untersuchungen Beteiligter sich kein Urteil er- 
lauben darf, hat aber bei den isoperimetrischen Hauptproblemen 
über Kreis und Kugel gerade für die den Abschluß bildenden 
Existential- und Eindeutigkeitssätze die klassische und ein- 
fachste Berührungstransformation, die von Huygens in die 
Optik eingeführte Dilatation eine große Rolle gespielt. Es mag 
nur daran erinnert werden, daß F. Bernstein bei seinem 
Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft des Kreises auf der 
Kugel (deren Radius gleich Eins gesetzt ist) von dem Ausdruck 
(2 Ti - Ff + U > 4 n ’ 1 
ausgeht 1 ). F bedeutet dabei den Inhalt, L die Länge einer 
geschlossenen Kurve, und der Umstand, daß dieser Ausdruck 
eine Iutegralinvariante bei der Gruppe der Dilatationen ist, 
spielt eine große Rolle bei dem Beweis, daß die angeschriebene 
Ungleichheit besteht und der untere Grenzwert nur für den 
Kreis erreicht wird. 
Wir stellen uns, indem wir dabei die Rücksicht auf iso- 
perimetrische Probleme fest im Auge behalten, die Aufgabe, 
systematisch Integralinvarianten für die Gruppe der Dilatationen 
zii bilden. Die Bausteine dieser Invarianten sollen bestimmte 
Integrale bilden, auf die man bei Betrachtung geschlossener 
Kurven in der Ebene, geschlossener Flächen im Raum usw. 
ganz von selbst geführt wird. Als Beispiele seien noch ge- 
nannt Rauminhalt ( J ), Oberfläche ( L ) und das Flächenintegral 
der mittleren Krümmung 
M=iS(R,+ It,)doj = + x) df ' 
1915, S. 66. In einer neuen Bearbeitung des Encyklopäaieartikels über 
Variationsrechnung würde der Herr Verfasser schon auf Grund seiner 
eigenen Arbeiten den Anlaß haben, verschiedene Zusätze zu machen. 
9 Math. Ann. 60 (1905), S. 117. 
