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H. Liebmann 
§ I. Integralinvarianten der euk’idischen Dilatationsgruppe. 
Aus den beiden Größen F (Flächeninhalt) und L (Bogen- 
länge) erhält man leicht eine Größe, die gegenüber Dilatationen 
invariant ist. Ist d r der Kontingenzwinkel, so wachsen bei 
einer infinitesimalen Dilatation, d. h. bei einer Verschiebung 
der Linienelemente ds der Kurve in der Richtung der Nor- 
male um die Strecke dt diese Größen um 
dL = dt J dz = 2 jidt, dF — dt § ds = Ldt. 
Demnach ist 
1 ) 
dL dF _ 
2 H=-L= **' 
und man findet sofort durch Integration die Invariante 
2) F 1 — 4 7t F = Cj . 
Es ist bekannt, wie großer Anstrengungen es bedurfte, 
um nachzuweisen, daß diese Invariante ihren kleinsten Wert 
Null nur beim Kreis erreicht 1 ). Man kann aber auch eine 
W. Blaschke, Kreis und Kugel (Leipzig 1916), Kap. I. — Einen 
Beweis für die Ungleichheit* 
U — 4 n F > 0 , 
der sich an Einfachheit dem Beweis der entsprechenden Ungleichheit 
für sphärische Kurven messen kann, gibt es noch nicht. Es läge nahe, 
zu versuchen, den Beweis von Frobenius (Berl. Ak. Ber. 28, 1915, 
S. 387—404) für die Brunn-Minko wskische Ungleichung so zu fassen, 
daß man unmittelbar erkennen könnte: Unter den Parallelkurven eines 
Ovals gibt es auch Kurven mit negativem Inhalt, wenn das Oval kein 
Kreis ist. Dann müßte nämlich 
F -\- 1 L f - V 1 ji 
durch geeignete Wahl von t negativ gemacht werden können, also die 
Ungleichheit bestehen. Allein eine von Frobenius selber herrührende 
Bemerkung warnt vor einem solchen Versuch. — Leider lassen sich die 
so einfachen Betrachtungen dieses Forschers auch nicht zum Beweis der 
für die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel erforderlichen Beziehung 
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verwenden. Es sei gestattet, hier eine Briefstelle mitzuteilen: „Als ich 
meine Arbeit über den gemischten Flächeninhalt schrieb, habe ich sehr 
