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EL. Liebmann 
Im (dreidimensionalen) Raum bauen wir Invarianten zu- 
nächst auf aus den schon in der Einleitung erwähnten Größen, 
dem Rauminhalte einer geschlossenen, doppelpunktfreien Fläche, 
der Oberfläche 
0 = § R i R 2 d(o, 
und dem Integral der mittleren Krümmung 
M = £ j* (i?, + R 2 ) d co, 
Infinitesimale Dilatation läßt dco ungeändert, läßt aber 
R t und R 2 um dt wachsen, so daß man erhält 
dJ = Odt, dO = 2Mdt, dM — dt § dco = A.idt, 
also zur Bestimmung der Invarianten das System 
dJ dO dM _ 
0 ~ 2 M ~ 4:71 ~~ dt 
zu integrieren hat. Man erhält die eine Invariante 
(5) M 2 — 4 n 0 = c, 
und aus 
die weitere 
oder 
( 6 ) 
dJ = öd M = 
J 
1 (ML 
16.-7 2 V 3 
lö.-r 2 «/ -f- 
2 M 3 
3 " 
JF-Cl 
16 71 2 
-c,M) 
-4 Ti M 0 
dM 
= C i 
= c 
2 ' 
Die Invariante (5) ist bekanntlich (Blaschke, a. a. 0. , 
S. 104) nur für die Kugel gleich Null, für alle anderen Flächen 
positiv; sie tritt beim Nachweis der isoperimetrischen Eigen- 
schaft der Kugel auf. Man kann auch leicht die der Formel (3') 
entsprechende Beziehung 
(5') 16 ^ (R l — R 2 ) 2 ^ M 2 — 4 * 0 
nachweisen, in der R 1 den größten, R 2 den kleinsten auf der 
Fläche vorhandenen Hauptkrümmungsradius bedeutet. 
