Integralinvarianten und isoperimetr. Probleme. 
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Noch zwei weitere Integrale wollen wir in Betracht ziehen, 
nämlich 
do 
und 
p = s 
Beachtet man 
dN 
dt 
= 2 M, 
dP 
d t 
2 JV + .O, 
so erhält man bei Integration des durch die Gleichungen 
dN dP 
23 1 ~ 2 N -\- 0 ~ dt 
zu ergänzenden Systems (4) die weiteren Invarianten 
(7) 3/P — 3jzN—c 3 , 
(8) P + ~(M‘-i n N-2nO) = c„ 
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die, ohne daß ihre besondere geometrische Bedeutung und ihre 
Verwertbarkeit für isoperimetrische sinngemäße Aufgaben hier 
näher untersucht wird, einfach als Fortsetzung der Invarianten- 
tabelle angeführt sein mögen. 
Erweiterungen für euklidische Räume höherer Dimension 
liegen auf der Hand. Es möge die Durchführung noch für 
den vierdimensionalen Raum gestattet sein 1 ). 
Sind R t R 2 R 3 die drei Hauptkrümmungsradien, so nehmen 
wir als Bausteine außer dem Rauminhalt T einer geschlossenen 
Hyperfläche den Inhalt 
S = § R X R 2 R 3 doj 
der Hyperfläche und die beiden Integrale : 
-M”i = ^ j* (Rj R 2 + R 2 R 3 + dd 3 ^i) d <*> , 
31 2 = ^ J ( R t + R 2 4 " -R 3 ) d co. 
9 Über mehrdimensionale Krümmungstheorie vgl. Rianehi-Lukat, 
Differentialgeometrie, Leipzig 1899, Kap. 21. 
