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H. Liebmann 
dO = sin R, sin R 2 dcp, dcp 2 
und die Oberfläche 
0 = J J sin R, sin R 2 d(p, dcp 2 . 
Neben dem Rauminhalt ( J ) und der Oberfläche sollen 
noch die beiden Integrale 
S — \ S X sin (R 1 -f- R 2 ) dcp, d(p 2 
c = \ X X cos (R, + R 2 ) dcp 1 d<p 2 
in Betracht gezogen werden. 
Für die Kugel, und vermutlich für sie allein, ist 
X X d<p, d(p 2 = 4 n. 
Bei infinitesimaler Dilatation wird 
dO = 2 Sdt, dS = 2 C dt, dC = —2 Sdt, dJ = Odt. 
Demnach findet man Integralinvarianten aus 
dO_d L S__dC == dJ_ 
2S 2C 2 S~ 0 ~ dL 
Man erhält sofort 
1) S* + (7* = cl 
2 ) 0 + 0 = 0 , 
und endlich aus ^ = 0 oder 
( J Ci 
2 dJ+ = dUj + c 2 *rc sin - + Vc+^lA = 0 
Vcl — C* \ 2 «i J 
noch 3) 2J+(0 + C).(^ - a rctg^) + S = c s . 
Daß diese Größen wirklich Invarianten sind, kann man 
mit Hilfe der für endliche Dilatationen geltenden Gleichungen 
nachträglich bestätigen, also aus den Formeln 
C(t) = C cos 2t — S sin 2 t, 
S(t) = S cos 2t + C sin 2 t, 
0(t) = 0 -f S sin 2 1 + C (1 — cos 2 1 ) , 
J(t) = J+$ 0(t)dt = J+Ot+f(\-cos2t)+ G -(2t- sin 2 1). 
U Ci 
