Integralinvarianten und isoperimetr. Probleme. 
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Eine naheliegende Frage bedarf noch genauerer Unter- 
suchung. Es müßte festgestellt werden, ob die Invarianten 
gewissen Ungleichheiten unterliegen, die nun für den Fall der 
Kugel in Gleichungen übergehen. Es ist noch nicht zu über- 
sehen, ob man auf diesem Weg oder vielmehr Umweg über 
den sphärischen Raum schließlich zu einem einfacheren Beweis 
auch für die isoperimetrische Haupteigenschaft der Kugel im 
euklidischen Raum gelangen kann, ähnlich, wie ihn Bernstein 
für die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises erbracht hat. 
Uber diesen Grenzübergang zur euklidischen Geometrie sei 
schließlich noch eine Bemerkung gestattet. Er wird durch- 
geführt, indem man R x und R 2 ersetzt durch : Je und R 2 : Je 
und in Reihen entwickelt. Die Koeffizienten der Potenzen 
von ft -1 sind dann Invarianten bei Dilatationen im euklidischen 
Raum. Berücksichtigt man z. B. nur Jc~ 2 , so wird 
O X Ok-\ C = i f f cos d<p, d<P, 
*• )*-■) da 1 
und man erhält aus (2) die Invariante 
die sich aus den in § 1 angegebenen Invarianten 
M % — 4 n 0 = Cj (§ 1,5) 
M* — ijzN= c 2 (§ 1, 7) 
zusammensetzen läßt. 
§ 3. Die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises in der 
hyperbolischen Ebene. 
Wir gehen jetzt zur hyperbolischen Ebene über und wollen 
das in der Überschrift zum Ausdruck gebrachte Ziel verfolgen, 
von weiteren Untersuchungen dagegen absehen. Bezeichnet 
wieder F den Flächeninhalt, L die Länge einer geschlossenen 
doppelpunktfreien Kurve, dr den Kontingenzwinkel und wird 
