Integralinvarianten und isoperimetr. Probleme. 
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und 
auch 
Es ist daher für hinreichend groß gewähltes n bis ein- 
schließlich Größen von der Ordnung w" 2 bei unserem Polygon 
(2 Ti -f- F )" 1 — L % 
2 
sh 3 r ch % r — sh 3 r 
< 4 TT*. 
k{i)’ ,h ' reVr ) 
n 3 \ 3 \nj 
= 4 Tr 8 ^1 — ^ ch*rsh 3, i 
Mit der Ableitung dieser Ungleichheit sind aber jetzt alle 
Mittel gegeben , die man zum Beweis der isoperimetrischen 
Eigenschaft des Kreises braucht. Man kann jetzt, dem Ge- 
dankengang von Blaschke (a. a. 0., S. 31) vollständig parallel 
gehend, durch Annäherung der zu untersuchenden Kurve mit 
Hilfe eines einbeschriebenen Polygons V * mit einer geraden 
Anzahl von lauter gleichen Seiten nach weisen, daß für die 
Kurve niemals 
(2 n + F ) 3 — L 3 > 4 Tr 2 
sein kann, daß also 
(2 n -f F ) 3 — L 3 < 4 n 3 
ist. Ist die Kurve kein Kreis, so kann man bei festgehaltenem 
L noch F in F‘ > F durch das Viergelenkverfahren über- 
führen und wegen 
(2 n -f F ) 3 — U < (2 n + F ‘) 3 — L 2 4 ;i 2 
ist hiermit erwiesen, daß in der oben stehenden Beziehung das 
Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt. 
Damit ist die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises auch 
für die hyperbolische Geometrie sichergestellt. 
