Die nicbteuklidischen Minimalflächen. 
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(.rr -}- \ 'p'-) dx- + 2.{2S-\-pq)dxdy -{■ {zt 1 
(23) = 
Diese Differentialgleichung bestimmt auf der ge- 
gebenen Fläche z — f {x, y) ein System von Kurven, die 
von den zur Ebene z = 0 senkrechten oskulierenden 
Kreisen umhüllt werden, deren es in jedem Punkte der 
Fläche (zueinander orthogonal) zwei gibt. 
Für die Bildflächen der nichteuklidischen Minimalflächen ver- 
langen wir, daß die durch einen Punkt x, y gehenden Kurven 
sich dort orthogonal schneiden, daß also die Bedingung 
dx d' X dy d'y -)- dz d'z = 0 
oder wegen der ersten Gleichung (21) die Bedingung 
(24) (1 -p j)^) dx d'x pq_ {dxd'y -f- dyd'x) -p (1 -j- q-) dy d'y = 0 
erfüllt sei, wobei mit dy:dx und d'y \ d'x die beiden durch die 
quadratische Gleichung (23) bestimmten Richtungen bezeichnet 
sind. Nun ist 
dy y d'y ^ 2 + dy d'y ^ zr 
dx d'x ^f^-pi-Pg-’ dx d'x .^^-pi-l-g-' 
Folglich erhalten wir aus (24) 
{zr -P 1 -h /) (1 -P q^) — ^{zs-\-pq)pq-\r{zt i-\-\- q^) (1 + _p2) = 0 
oder : 
(28) z[r{l -p q^) - 2pqs + ^(1 +r’)] 2 {I p^ ^ q^) = 0. 
Durch diese partielle Differentialgleichung sind 
unsere euklidischen Bildflächen der nichteuklidischen 
Minimalflächen charakterisiert. 
Die Integration derselben ist durch die vorstehenden Ent- 
wicklungen auf die Integration der linearen partiellen Diöerential- 
gleichung erster Ordnung (15), die eine willkürliche Funktion 
enthält, zurückgeführt. 
