Die nichteuklidischen Minimalflächen. 
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rungspunkte bilden auf der Fläche zwei Systeme von Kurven, die 
den Haupttangentenkurven der Fläche im Raum (^, rj, C) ent- 
sprechen. Da letztere Kurven auf den nichteuklidischen Minimal- 
flächen ein Orthogonalsystem bilden, so entspricht einer solchen 
Minimalfläche im Halbraum eine Fläche, auf welcher die soeben 
bezeichneten (von zur Ebene s = 0 orthogonalen Kreisen um- 
hüllten) Kurven ebenfalls ein üithogonalsystem bilden; denn bei 
der Abbildung (8) gehen nichteuklidische Winkel in gleiche eukli- 
dische Winkel über. 
Diese Bildflächen kann man in folgender Weise durch eine 
partielle Differentialgleichung direkt charakterisieren. 
8. Es werde als Funktion von z und y gedacht, so daß 
in üblicher Weise 
(21) dz j) dz q dy ^ d- z = r{dzy -\- 2s dz dy t{dyy 
gesetzt wird. Wir legen durch den Punkt z, y, z einen ebenen 
Schnitt, dessen Ebene senkrecht zur Ebene z = 0 steht, und 
berechnen zunächst den Krümmungsradius R dieses Schnittes; es 
ist bekanntlich 
_ „ . (dx-- + + d,^)-VT+-VT¥ 
r{dzf + 2sdzdy-{-t{dyy ' 
wobei ■& den Winkel bedeutet, den die Normale des ebenen 
Schnittes mit der Flächennormale bildet, also 
cos •& = cos a cos X -J- cos ß • cos /< -p cos y • cos v , 
wenn X, /z, v die Richtungswinkel der Flächennormale und a, ß, y 
diejenigen der Normale des ebenen Schnittes bezeichnen; es ist hier 
cos X = 
■P 
Vx+p 
cos V = 
cos ^ = 
■j/l 
1/ 1 -P • 
Die Normale mit den Richtungswinkeln a, ß, y werde durch 
die Gleichungen 
X — a: ^ r — ^ ^ X— ^ 
cos a cos ß cos y 
dargestellt; die Richtungs-Cosinus genügen den beiden Bedingungen 
