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F. Lindemann 
und infolge von (5) 
(11) W- W^ß + 2 (sin TF« Wß = 0. 
Dies ist die Bedingung dafür, daß die Formeln (8) zu- 
sammen mit (7) eine nichteuklidische Minimalfläche dar- 
stellen, wobei a, ß die Parameter der Minimalkurven sind. 
4. Die Größen W, co müssen den beiden Gleichungen (4) 
und (11) genügen. Mit Hilfe der Gleichungen (2) können wir 
W eliminieren. Es wird zunächst: 
Wa W 
(12) sin m -h = 0, ^ sin co — = 0, 
also: 
oder: 
( 14 ) (?.aß + flaß) sin CO COsin co (Xß COa + (Oß) = 0 . 
Dies ist die Bedingung für das Zusammenbestehen der Glei- 
chungen (12); und da diese auseinander entstehen, indem man: 
mit — i vertauscht, W aber ungeändert läßt, auch die Bedingung 
dafür, daß die gemeinsame Lösung W der Gleichungen (12) 
eine reelle Funktion von a, ß ist. 
Es ist aber der Ableitung nach die Gleichung (14) auch 
die Bedingung für das Zusammenbestehen der Gleichungen (2) 
mit der Gleichung (11) und folglich auch für das Zusammen- 
bestehen der Gleichung (4), die aus (2) folgte, mit der Glei- 
chung (11); in der Tat ist die zweite Gleichung eine Folge der 
ersten, wenn W reell ist, und somit auch die aus beiden folgende 
Gleichung (4) erfüllt. Sobald die Gleichung (14) erfüllt ist, er- 
gibt sich in der Tat aus (12) derselbe Wert von W, wie aus (2). 
Aus (12) folgt nämlich durch Differentiation: 
Waß sin co -p Wß (Da COSin co -(- TFa 7.^ + W laß = 0 
Waß sin co Wa (Dß COsin co Wß fu + W/laß — 0 
und durch Addition wegen (14): 
sin co ( Wß (Da — Wa COß) -f- W (Iß (Da + /<« 03^ = 0 
oder wegen (2) 
