Die nichteuklidischen Minimalflächen. 
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Führt man homogene Koordinaten 'Q, t ein, deren 
absolute Werte durch die Gleichung 
(9) + 
festgelegt werden, so findet man für das Bogenelement d a : 
(10) = d d^f dx^ - (kdl: drf = 
dx^ + dy^ + dz- 
woraus sich ergibt, daß Minimalkurven (tio = 0) in Minimal- 
kurven {ds = 0) übergehen. Setzt man in die Gleichung (8) für 
X, y, z die Werte (1) ein, so hat man die Darstellung einer 
beliebigen Fläche im nichteuklidischen Raum durch 
ihre Minimalkurven. 
3. Sollen die Minimalkurven ein konjugiertes System bilden, 
a j; S C d-x 
so muß bekanntlich die Determinante X] i ^ 
schwinden, wenn man hierin setzt: 
da dß dadß 
ver- 
gi = 2kx, gy = 2ky, gC = 2k, gx = r - — 
wo g einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Berechnet man 
aus (1) die Elemente der Determinante, so ergibt sich das ein- 
fache Resultat: 
Wa Wß [J’- sin (A — jd) WWa lß{\ cosin (A — /i))] = 0 ; 
die scheinbare Unsymmetrie der linken Seite entsteht daraus, daß 
nach (1) die Werte 
Xaß = — i sin A • Wa • Iß -[-i cosin A • Waß 
= i sin • Wß fXa — i cosin jn • Waß, 
yaß = i cosin A • Wa -Iß — i sin A • Waß 
= — i cosin ,u • Wß /t« + i sin fx • Waß 
in doppelter Form darstellbar sind, von der nur eine Form be- 
nutzt wurde; es ist ferner zu beachten, daß an Stelle von Xaß nach 
elementarer Umformung der Determinante der Wert F -p zZaß 
tritt. Die Unsymmetrie verschwindet, wenn man den Wert Iß 
aus (2) einsetzt; es wird: 
F = ~W- W.f (cotg l)", 
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