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H. Liebmann 
- * = h^r~- oder 3 — = r*k~^, 
as aSj 
— 2 r^r'Jc^* 
^^ = 2 . *(3(0»+ .-Ol-'. 
Man findet dann 
fd^r \2 
= h-^r^{2{x“Y + 4r"r-i), 
fd^ r\- 
= h-^r^{2{x‘“f -I- 16r-2(r")® + 8 r- ' r" 2’ (a;")") 
und hieraus leicht 
( 7 ) 
ds^ = {2'(a;'")^ — (- 5 ’(a:“)®)®}* ds. 
Hierdurch ist bestätigt, daß (6) in der Tat Integralinva- 
riante ist. 
Der Bau dieser Invariante und der Gang der Rechnung zeigt, 
daß das entsprechende Integral im Ii„ ebenfalls invariant bleibt 
bei der konformen Gruppe. 
Interessanter als diese naheliegende Verallgemeinerung ist 
die geometrische Deutung, die mit Hilfe der Serret-Frenet- 
schen Formeln unter Einbeziehung vom Krümmungsradius r 
(nicht zu verwechseln mit r = y x^ und Radius B, 
der Schmiegungskugel sich ergibt. Man findet 
/ox / /// / j Vds dr 
( 8 ) (Z(xy — y‘x“y)*ds = — -. 
r y2)l 
Man erhält noch engere Anpassung an ( 4 ), wenn man den 
Abstand g des Kurvenpunktes P vom Schnittpunkt der Krüm- 
mungsachse mit der Tangentialebene der Schmiegungskugel in P 
einführt, g geht für P = 00 in den Krümmungsradius g der 
ebenen Kurven über, und es zeigt sich, daß die Invariante (8) 
der Raumkurven den Wert hat 
Ydsdr 
(8') 
r 
