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Beiträge zur Inversionsgeometiüe der Kurven. 
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Man könnte (8') direkt durch geometrische Betrachtungen 
gewinnen, doch ist die oben gegebene rechnerische Aufstellung 
der Invariante (6) schließlich einfacher. 
3. Die Nullkurven (Inversionsminimalkurven). Die Kurven, 
längs deren das Integral (5), zwischen zwei beliebigen Punkten 
erstreckt, den Wert Null hat, sind nach (4) leicht zu bestimmen. 
Man erhält einmal die durch 
I ds — 0 
I bestimmten Minimalgeraden, und dazu noch 
dg = 0, 
also die Kreise. (In der Affingeometrie sind die Parabeln Null- 
I , kurven.) Dies zusammen sind die einzigen in reellen Ebenen 
i gelegenen Nullkurven. 
Im i ?3 erhält man aus (6) folgende Nullkurven: 
Zunächst die Minimalkurven der euklidischen Geometrie. 
I 
I Dazu kommen als einzige reelle Nullkurven die durch 
' x‘y“‘ — y' x“‘ = 0, 
I y ‘2 “ — 2 ‘y“‘ ^ 0, 
z‘ x‘“ — x' s“‘ = 0 
: bestimmten, das sind die Kreise. 
Die durch 
{x‘ y'“ — y' x‘“y -P iy" y“‘y -|- (s'x“ 
— x‘s“y = 0 
gegebenen imaginären Kurven lassen sich, wie hier nicht weiter 
ausgeführt werden soll, durch Lösung einer Riccati sehen Dif- 
ferentialgleichung bestimmen. Die ebenen Kurven unter ihnen 
kann man ohne Integration angeben. 
Setzt man nämlich 
2 = ux -p vy, 
= ux' -p vy\ 
z“ = ux" -P V])"^ 
so wird 
y' z" — z‘y" = u{y‘x" — x' y"), 
z'x" — x' z" = v{y‘ x" — x'y"), 
es ist also zu fordern 
G 
