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H. Liebmatin 
{x‘y‘“ — y‘ x‘“Y (1 -f- -j- v'^) = 0, 
was einerseits in jeder beliebigen Ebene die Kurve liefert, oder 
auf der andern Seite die Forderung, daß die Ebene den imagi- 
nären Kugelkreis berührt. Die in diesen Ebenen gelegenen Kurven 
also, die bekanntlich in der metrischen (euklidischen) Differential- 
geometrie zu langen Erörterungen geführt haben, treten in der 
Inversionsgeometrie als Nullkurven auf. 
§ 2. Die Extremalen. 
1. Die Extremalen in der Ebene und auf der Kugel. 
Die Kurven extremer Inversionslänge, also nach (4) die Lösungen 
des Variationsproblems 
(9) = = 0 
sind in der Ebene leicht zu bestimmen, wenn man sich der Koor- 
dinaten (^, rj) der Evolutenpunkte bedient und als unabhängige 
Veränderliche den Krümmungsradius q beibehält. Die Differen- 
tiationen seien durch Fußmarken angedeutet. 
Es ist dann die Nebenbedingung zu berücksichtigen 
( 10 ) = 
und es wird 
also 
^2 == — sin 9 ? • 9 ?, , r)^ = cos (p-cp^, 
„ ^1 ^2 ^2 
fl + -fl ’ 
dC^ ^ 
3^1 
3»?i 
3^1 
3^2 
2 (^1 »?2 — Vi h ) _ 
+ rjl + vir 
= — sin cp • 
= — cos 9? • 9’i , 
ex-{-yl 
= — sin 9 ?, 
3^1 
3»/2 
cos (p. 
Das Variationsproblem (9) mit Nebenbedingung (10) setzen 
wir dann in der Form an 
