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H. Liebmann 
also können die Gleichungen erfüllt werden, indem man setzt: 
= A = 0. 
Alle logarith mischen Spiralen, daher auch die durch In- 
version aus ihnen ableitbaren Kurven, die Isogonalen eines 
linearen Kreisbüschels (und seines Orthogonalbüschels), die man 
auch Loxodromen nennt, sind also Extremalen. 
Im ganzen sind das oo® Kurven, der Tatsache entsprechend, 
daß das Variationsproblem, wenn man wie üblich sich die Auf- 
gabe stellte, y als Funktion von x (nicht | und rj als Funktionen 
vön q) zu bestimmen, auf eine Differentialgleichung der sechsten 
Ordnung führen müßte. 
Es bleibt dann noch die Aufgabe bestehen, zwei beliebige 
Krümmungselemente der Ebene wirklich durch eine Loxodrome 
zu verbinden, die diese Elemente enthält. Sodann wäre die Frage 
zu beantworten: Ist das Extrem ein Minimum oder ein Maximum? 
Geometrische Überlegungen führen auf den zweiten Fall — ge- 
nau so, wie in der Affingeometrie die Extremalen (Parabeln) das 
Maximum der Affinlänge zwischen zwei Linienelementen liefern. 
Endlich überträgt sich das Ergebnis durch Inversion sofort 
auf die Kugel. Die Extremalen sind auch auf der Kugel Isogonal- 
trajektorien eines linearen Kreisbüschels, also, wenn man das 
Büschel der Meridiane nimmt, eigentliche Loxodromen. 
2. Das Extremalenproblem im Raum. Im i?, erhielte 
man bei schematischer Behandlung des Variationsproblems 
( 11 ) (5 J* {Zix'y'“ - y'x‘“Yf ds = d 
zur Bestimmung von y und s zwei Differentialgleichungen sechster 
Ordnung, womit übrigens auf Grund der Erfahrungen in der 
Affingeometrie noch nicht gesagt ist, daß es Extremalen gibt. 
Wir geben hier ein Verfahren an, das auf oo^° Extremalen 
führt und gehen von dem Ansatz aus 
Kcp 
X = ue cos 99, 
(12) y = ue^'^ sin 99, 
K q> 
z = viie 
u und V sollen die abhängigen Veränderlichen sein, 9? die Unab- 
hängige. Das zu variierende Integral erhält dadurch die Form 
J F {u, V, Z<,, Vj, Mj, Vg, Mg, Vj) d(p. 
