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H. Liebruann 
(13) 
X = cos cp , 
y = ce'^f’ sin 99 , 
V\ — K^ ^ 
= c ^ 
das sind konische Spiralen. 
Berechnet man den Winkel, unter dem diese konischen 
Spiralen die Erzeugenden schneiden, so findet man 
cos a — 
Zxx' 1 
{Sx^^Zx'^)^ ~ t 72 ’ 
Also: Die auf Rotationskegeln gelegenen konischen 
Spiralen, die die Mantellinien unter dem Winkel 71 / 4 
schneiden, sind Extremalen, 
Man erhält durch Anwendung der konformen Gruppe dann 
00^° Extremalen, nämlich auf jeder Dupinschen Cyklide die beiden 
Scharen von 7 r/ 4 -Trajektorien der Krümmungslinien. 
Übrigens sind auf der Dupinschen Cyklide alle Isogonal- 
trajektorien Lösungen des gebundenen Variationsproblems, von 
dem man also oo^ der 00® Lösungen angeben kann. Diese Cykliden 
sind ein Gegenstück zu den Regelflächen, von deren 00* geodä- 
tischen Linien (Lösungen des gebundenen Variationsproblems) 00^ 
gerade Linien (Lösungen des freien Variationsproblems) sind. 
§ 3. Die Inversionskrümmung. 
1 . Ebene Kurven. Um für ebene Kurven die niedrigste 
Difierentialinvariante zu bestimmen, gehen wir davon aus, daß im 
Raum der Kreise K (f, rj, q) die Gruppe sich darstellt als sechs- 
gliedrige Untergruppe der zehngliedrigen, vermöge deren 
4 - drj^ — dg^ 
bis auf einen Faktor invariant bleibt; diese sechsgliedrige (nicht- 
euklidische) Gruppe ist durch die Forderung, daß 
(14) ~ 
eine Invariante ist, definiert. 
g 
