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H. Liebmann 
Die drei ersten erzeugenden Transformationen, die zusammen 
die Gruppe der Bewegungen der Ebene ergeben, zeigen, daß die durch 
3/’ , V^f 1 I .T. < rf, , rT. 
dx 
^ ^ ^ ^ 'TZ ^ ^3 ^ 
dy dz d q) ' 99^2 59^3 
definierte Differentialinvariante von x, y und cp frei sein muß; die 
dritte (Ähnlichkeit) gibt dann noch die Forderung 
dz 
df df df 
cp, 2 cp,. Sip, =0, 
’a'Pi 39^3 
also muß f eine Funktion von zcp^, z‘‘‘cp^, seinÄ) 
Das ist von vorneherein klar, eine Invariante der vier- 
gliedrigen ebenen Gruppe Bewegung -j- Ähnlichkeit kann nur von 
dcp 2 
^ do 
dp^ ' 
dg^ 
03 für 
abhängen. Die oben angegebenen Werte von Z, X, . 
die fünfte erzeugende Transformation ergeben dann die weitere 
Forderung 
3f 
V>i 
5f 
dcp^ 
U 
3 «Pa 
-1-C0S95< — ^cp^-\-zcp^~ -\-{—%cp^->r2zcp\ 
dcp^ 
IL 
3<P2 
4^<P3) 
9/' 
3<P3 
(16) 
5mcp\2zcp\^ ^ {bcp\ 1 z cp^ cp) = 0 . 
I 9992 a9?3) 
d f df 
Dabei sind — und — bereits ausgelassen, da ia f sicher 
dx dy 
von X und y frei ist. 
Die sechste erzeugende Transformation gibt eine genau so 
gebaute Gleichung, nur an Stelle von 
X, cos 9?, sin 99, 
sin 99, — cos cp. 
Man braucht also, da die erste Zeile für f {zcp, z^cp^, 
Null ist, nur noch die zweite und dritte gleich Null zu setzen 
und erhält dann 
1) Die Inkremente Z,X, ... ^3 für die trivialen Transformationen (15), 
1 — 4 brauchen nicht ausgerechnet zu werden. 
